山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第二十二章 各种积分间的联系和场论初步

第二十二章各种积分间的联系和场论初步 §1.各种积分间的联系 1.应用格林公式计算下列积分: ()y一xyk,其中L为椭圆+2=1,取正向 dx+(x-y)dy ()∮(x+y)d-(x2+y3),L是顶点为4(DB(32)C25)的三角形的边界 取正向 (4)(x2+y2)x-(x2-y2)d,L为x2+y2=1,取正向 (5)∮e"sinx+e- sin ydy,L为矩形a≤x≤bc≤y≤d的边界,取正向 ∮e[(ysin+cos(x+y)+( xsinxy+os(x+y)d],其中L是任意逐 段光滑闭曲线 2.利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积 (1)双纽线r2=a2cos20 (2)笛卡儿叶形线x2+y3=3ay(a>0 (3)x=a(1+cos2t)sint,y=asin2 t coS t,0≤t≤2x 3.利用高斯公式求下列积分 ()Jx+ydd+=2dd,其中 (a)S为立方体0≤x,y,z≤a的边界曲面外侧 S为锥面x2+ (0≤z≤h),下侧 (2)x3dhd+y2zdr+=2adh,其中S是单位球面的外侧 (3)设S是上半球面二=a2-x2-y2的上侧,求 dyd- ydEdx =dxdy 第1页共8页

第 1 页 共 8 页 第二十二章 各种积分间的联系和场论初步 §1. 各种积分间的联系 1． 应用格林公式计算下列积分： (1) 2 2 L xy dy x ydx −  ，其中 L 为椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = ，取正向； (2) ( ) ( ) L x y dx x y dy + + −  ， L 同(1)； (3) 2 2 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy + − +  ，L 是顶点为 A B C (1,1), (3,2), (2,5) 的三角形的边界， 取正向； (4) 2 3 3 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy + − −  ， L 为 2 2 x y + =1 ，取正向； (5) sin sin y x L e xdx e ydy − +  ， L 为矩形 a x b c y d     , 的边界，取正向； (6) ( sin cos sin cos ( )) ( ( )) xy L e y xy x y dx x xy x y dy   + + + + +    ，其中 L 是任意逐 段光滑闭曲线． 2． 利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积： (1) 双纽线 2 2 r a = cos 2 ； (2) 笛卡儿叶形线 3 3 x y axy + = 3 ( a  0 )； (3) 2 2 x a t t y a t t t = + =   (1 cos )sin , sin cos ,0 2 ． 3． 利用高斯公式求下列积分： (1) 2 2 2 S x dydz y dzdx z dxdy + +  ，其中 (a) S 为立方体 0 , ,   x y z a 的边界曲面外侧； (b) S 为锥面 2 2 2 x y z z h + =   (0 ) ，下侧． (2) 3 3 3 S x dydz y dzdx z dxdy + +  ，其中 S 是单位球面的外侧； (3) 设 S 是上半球面 2 2 2 z a x y = − − 的上侧，求 (a) S xdydz ydzdx zdxdy + + 

(b)Jxs'dyd:+(r'y-x2)dex+(2xy+y2=dxdy (4)(x-y+=)dyd=+(v-22+x)d=dx+(=-x+22)dxdy, ShE +(y-b)+(=-c)2=R2的外侧 4.用斯托克斯公式计算下列积分: ()9xya+d+h,其中 (a)L为圆周x2+y2=a2,z=0,方向是逆时针 (b)L为y2+z2=1,x=y所交的椭圆,从x轴正向看去,按逆时针方向 2)∮(=)+(=-x)+(xy),L是从(a00)经(a0)至(.a)回 到(a00)的三角形 ()∮(y2+2)+(x2+2)+(x2+y2),其中 (a)L为x+y+z=1与三坐标轴的交线,其方向与所围平面区域上侧构成右手法 则 (b)L是曲线x2+y2+2=2Rx,x2+y2=2rx(0<r<R,z>0),它的方向与所 围曲面的上侧构成右手法则; ()∮)+动+x,L是x2+y2+2=a2,x+y+二=0,从x轴正向看去圆周 是逆时针方向 5.设L为平面上封闭曲线,l为平面上任意方向,证明 cos(n, /)ds 其中n是L的外法线方向 6.设S是封闭曲面,1为任意固定方向,证明 f cos(n, n)ds=0 7.求=∮[xcos(nx)+yos(ny)]4,L为包围有界区域D的光滑闭曲线,n为 L的外法向 8.证明高斯积分 第2页共8页

第 2 页 共 8 页 (b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 S xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy + − + +  ； (4) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 S x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy − + + − + + − +  ， S 是 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b z c R − + − + − = 的外侧． 4． 用斯托克斯公式计算下列积分： (1) 2 3 L x y dx dy zdz + +  ，其中 (a) L 为圆周 2 2 2 x y a z + = = , 0 ，方向是逆时针， (b) L 为 2 2 y z x y + = = 1, 所交的椭圆，从 x 轴正向看去，按逆时针方向； (2) ( ) ( ) ( ) L y z dx z x dy x y dz − + − + −  ， L 是从 (a,0,0) 经 (0, ,0 a ) 至 (0,0,a) 回 到 (a,0,0) 的三角形； (3) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 L y z dx x z dy x y dz + + + + +  ，其中 (a) L 为 x y z + + =1 与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法 则， (b) L 是曲线 2 2 2 2 2 x y z Rx x y rx r R z + + = + =    2 , 2 (0 , 0) ，它的方向与所 围曲面的上侧构成右手法则； (4) L ydx zdy xdz + +  ， L 是 2 2 2 2 x y z a x y z + + = + + = , 0 ，从 x 轴正向看去圆周 是逆时针方向． 5． 设 L 为平面上封闭曲线， l 为平面上任意方向，证明 cos , 0 ( ) L n l ds =  ， 其中 n 是 L 的外法线方向． 6． 设 S 是封闭曲面， l 为任意固定方向，证明 cos , 0 ( ) S n l dS =  ． 7． 求 cos , cos , ( ) ( ) L I x n x y n y ds = +      ，L 为包围有界区域 D 的光滑闭曲线， n 为 L 的外法向． 8． 证明高斯积分

s ( r n) ds =0 其中L是平面上一单连通区域a的边界,而r是L上一点到a外某一定点的距离,n是 L的外法线方向.又若r表示L上一点到O内某一定点的距离,则这个积分之值等 9.计算高斯积分 cos(r,n) 其中S为简单封闭光滑曲面,n为曲面S上在点(5,75)处的外法向, r=(5-x)i+(7-y)j+(5-)kr=试对下列两种情形进行讨论 (1)曲面S包围的区域不含(x,y,)点 (2)曲面S包围的区域含(xy,)点 10.求证 dodd. cos(r, n)ds 其中S是包围的分片光滑封闭曲面,n为S的外法线方向.r=(x,y)r=,分 下列两种情形精心讨论 (1)V中不含原点(0,0,0) (2)V中含原点(0,0,0)时,令 dxdydz lim dyde E→>0+Fg 其中V是以原点为心,以E为半径的球 11.利用高斯公式变换以下积分: (1)xydxdy+ xzdzdx yzdydz cosa+a cos B+a- cosr s 其中cosa,cosβ,cosγ是曲面的外法线方向余弦 12.设(x,y)y(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数,并设 ou a1 第3页共8页

第 3 页 共 8 页 cos( ) 0 , L ds r r n =  ， 其中 L 是平面上一单连通区域  的边界，而 r 是 L 上一点到  外某一定点的距离， n 是 L 的外法线方向．又若 r 表示 L 上一点到  内某一定点的距离，则这个积分之值等于 2 ． 9． 计算高斯积分 ( ) 2 cos , S r n dS r  ， 其 中 S 为 简 单 封 闭 光 滑 曲 面 ， n 为曲面 S 上在点 (   , , ) 处 的 外 法 向 ， r x i y j z k r r = − + − + − = (   ) ( ) ( ) , ．试对下列两种情形进行讨论： (1) 曲面 S 包围的区域不含 ( x y z , , ) 点； (2) 曲面 S 包围的区域含 ( x y z , , ) 点． 10． 求证： ( ) 1 cos , 2 V S dxdydz r n dS r =   ， 其中 S 是包围 V 的分片光滑封闭曲面， n 为 S 的外法线方向． r = ( x y z , , ),r r = ．分 下列两种情形精心讨论： (1) V 中不含原点（0，0，0）； (2) V 中含原点（0，0，0）时，令 lim 0 V V V dxdydz dxdydz r r   − = → +   ， 其中 V 是以原点为心，以  为半径的球． 11． 利用高斯公式变换以下积分： (1) S xydxdy xzdzdx yzdydz + +  ； (2) cos cos cos S u u u dS x y z           + +       ， 其中 cos ， cos  ，cos 是曲面的外法线方向余弦． 12． 设 u x y v x y ( , , , ) ( ) 是具有二阶连续偏导数的函数，并设 2 2 2 2 u u u x y    = +   ．

证明: (1)‖△adh au av au av (2)vAudxdy dxdy d Cx ax ay ay 其中σ为闭曲线l所围的平面区域 为沿l外法线的方向导数 auau a s是V的边界曲面,证明 △ah小s/ra an 0会)+)1 c)a+a△aohd 式中在V及其边界曲面S上有连续的二阶偏导数,为沿曲面S的外法线的方向导 数 14.计算下列曲面积分: j(x-y+(2-)h+2(-9,其中S是++ (二≥0)下侧; (2)J(x+cosy)d+(y+cos)ddk+(=+osx)ds是立体?的边界面, 而立体g由x+y+2=1和三坐标面围成 (3)JF°n△s,其中F=x+y3j+=kn是S的外法向,S为x2+y2+=2=a2 ≥0)上侧 (x≥0)后侧 15.证明由曲面S所包围的体积等于 第4页共8页

第 4 页 共 8 页 证明： (1) l u udxdy ds n    =    ； (2) l u v u v u v udxdy dxdy ds x x y y n           = − + +             ； (3) ( ) l u v u v v u dxdy v u ds n n       −  = − −         ． 其中  为闭曲线 l 所围的平面区域， , u v n n     为沿 l 外法线的方向导数． 13． 设 222 2 2 2 , uuu u S x y z   = + +    是 V 的边界曲面，证明： (1) V S u udxdydz dS n   =    ； (2) 2 2 2 S V V u u u u u dS dxdydz u udxdydz n x y z             = + + +                           ． 式中 u 在 V 及其边界曲面 S 上有连续的二阶偏导数， u n   为沿曲面 S 的外法线的方向导 数． 14． 计算下列曲面积分： (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 S x y dydz y z dzdx z y x dxdy − + − + −  ，其中 S 是 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = ( 0) z  下侧； (2) ( cos cos cos , ) ( ) ( ) S x y dydz y z dzdx z x dxdy S + + + + +  是立体  的边界面， 而立体  由 x y z + + =1 和三坐标面围成； (3) S F ndS   ，其中 3 3 3 F x i y j z k n = + + , 是 S 的外法向， S 为 2 2 2 2 x y z a + = ＋ ( 0) z  上侧； (4) 3 3 3 3 2 3 3 2 2 2 , S x y z yz dydz z x dzdx x y dxdy S a b c             + + + + +        是 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = ( x  0) 后侧． 15． 证明由曲面 S 所包围的体积等于

∫j( x cosa+ cos p+=c)ds 式中cosa,cosB,cosy为曲面S的外法线的方向余弦 16.若L是平面 x cosa+ ncos B+ EcOSy-p=0上的闭曲线,它所包围区域的面积 为S,求 其中L依正向进行 17.设PO,R有连续偏导数,且对任意光滑闭曲面S,有 Pdydz +Odzdx+ Rdxdv=0 aP aO aR 证明 18.设P(xy)Q(xy)在全平面上有连续偏导数,而且以任意点(x,y)为中心,以 任意正数r为半径的上半圆/:x=x0+rcos,y=y+ rsin e(0≤0≤z),恒有 「P(xy)+Q(xy)dy=0, 求证:P(x,y)=0 §2.积分与路径无关 1.验证下列积分与路径无关,并求它们的值: (0,0) (x-y(dx-dy ydx-xd 沿在右半平面的路径 (6, 8)xdx+ ydy (10) x+y 沿不通过原点的路径 (4) f(x+y)(x+dy),式中f(u)是连续函数 (5)「,(x)dx+v(y)d,其中q,v为连续函数 第5页共8页

第 5 页 共 8 页 ( ) 1 cos cos cos 3 S V x y z dS = + +     ， 式中 cos ， cos  ，cos 为曲面 S 的外法线的方向余弦． 16． 若 L 是平面 x y z p cos cos cos 0    + + − = 上的闭曲线，它所包围区域的面积 为 S ，求 cos cos cos L dx dy dz x y z     ， 其中 L 依正向进行． 17． 设 P Q R , , 有连续偏导数，且对任意光滑闭曲面 S ，有 0 S Pdydz Qdzdx Rdxdy + + =  ． 证明 0 P Q R x y z    + + =    ． 18． 设 P x y Q x y ( , , , ) ( ) 在全平面上有连续偏导数，而且以任意点 ( x y 0 0 , ) 为中心，以 任意正数 r 为半径的上半圆 l ： 0 0 x x r y y r = + = + cos , sin   (0 )     ，恒有 ( , , 0 ) ( ) l P x y dx Q x y dy + =  ， 求证： ( , 0, 0 ) Q P x y x     ． §2. 积分与路径无关 1． 验证下列积分与路径无关，并求它们的值： (1) ( )( ) ( ) (1,1) 0,0 x y dx dy − −  ； (2) ( ) (1,2) 2 2,1 ydx xdy x −  沿在右半平面的路径； (3) ( ) (6,8) 2 2 1,0 xdx ydy x y + +  沿不通过原点的路径； (4) ( )( ) ( ) ( , ) 0,0 a b f x y dx dy + +  ，式中 f u( ) 是连续函数； (5) ( ) ( ) ( ) (1,2) 2,1   x dx y dy +  ，其中  ， 为连续函数；