数学物理方法 第二部分 数学物理方程
Wu Chong-shi
第十三讲数学物理方程:数学建模 第十三讲数学物理方程:数学建模 数学物理方程,通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏嶶分方程,有 时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程,.例如, ·静电势和引力势满足的 Laplace方程或 Poisson方程 ·波的传播所满足的波动方程 ·热传导问題和扩散问题中的热传导方程 连续介质力学中的 Navier-Stockes方程组和 Euler方程组 描写电磁场运动变化的 Maxwell方程组 ·作为微观物质运动基本规律的 Schrodinger方程和 Dirac方程 ·弹性力学中的 Saint-Venant方程组 等等.这些方程(組)多是二阶线性偏微分方程(組).所以,本课程将集中讨论几种典型的二阶线 性偏微分方程 本讲从一些物理问題导出一些典型的二阶线性偏微分方程.以后讨论这些方程的一般性质及 解法
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☎✆☛☞ ✌ 1 ✍ ✎✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✓✔✚✛ ✜ ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✣✤ ✢✬✭✮✯ ✰ ✱✲✳ ✢✴✵✶✳ ✢✷✸✹✺✻✼✽✾✥✦✧✿ ❀❁ ❂❃❄❅✿ ❆✻❇✾✥✦✴✽✾❇✾✥✦❈✩✽✾✥✦❉❊❋✧ • ● ❍■❈ ❏❑■▲▼✻ Laplace ✥✦◆ Poisson ✥✦ • ❖ ✻P◗✸▲▼✻ ❖❘✥✦ • ❙ P❚ ❯❱❈❲❳ ❯❱ ✷✻ ❙ P❚✥✦ • ❨❩❬❭ ❑✢✷✻ Navier–Stockes ✥✦❪❈ Euler ✥✦❪ • ❫ ❴❍❵❛❜❘❝❞✻ Maxwell ✥✦❪ • ❡❢✽❣✣❭❜❘❤✐❥❦✻ Schr¨odinger ✥✦❈ Dirac ✥✦ • ❧♠ ❑✢✷✻ Saint-Venant ✥✦❪ ♥♥❉♦♣✥✦ (❪ ) qrst✉♠✼✽✾✥✦ (❪ ) ❉✸ ✈✧✐✇✦①② ✷③④⑤⑥⑦⑧✻st✉ ♠ ✼✽✾✥✦❉ ✐⑨✫⑩♣✣✤ ❯❱❚ ❶⑩♣⑦⑧✻st✉♠✼✽✾✥✦❉✈❷③④♦♣✥✦✻⑩❸♠❭✬ ❹❺❉
131弦的横振动方 2页 813.1弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦,沿水平直线绷紧,而后以某种方法激发,使弦在同一个平面上作 小振动.列出弦的横振动方程 取弦的平衡位置为x轴,且令端点坐标为x=0与x= 设u(x,t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的(横向)位移.在弦上隔离出长为dx的一小段(弦 元).弦元的弦长足够小,以至于可以把它看成是质点 分析弦元受力:它在两个端点x及x+dx处受到张力的作用 a(,t) 20 弦的横振动 因为弦是完全柔软的,故只受到切向应力—张力T的作用,而没有法向应力.同 时,略去了重力的作用 因此有 (Tcos O)x+dr-T cos 0)x=0 小振动近似:x+d与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+dx,t)-u(x,t),与dx 相比是一个小量,即 Jau/azl 在小振动近似下, sinb≈ tan O 略去了一的三级项 略去了一的二级项
Wu Chong-shi §13.1 ❻❼❽❾❿✟✠ ✌ 2 ✍ §13.1 ➀➁➂➃➄➅➆ ➇➈➉➊➋➌➍➎➏➐➑✧➒➓➔→➣↔↕✧➙➛➜➝➞➟➠➡➢✧➤➑➥➦➈➉➔➧➨➩ ➫➭➯❉➲➳➑➎➵➭➯➟➸❉ ➺➻➼➽➾➚➪➶ x ➹ ✧➘➴➷➬➮➱➶ x = 0 ✃ x = l ❉ ❐ u(x, t) ❒ ➮➱➶ x ➼➻❮❰➬Ï t ÐÑ➼ (Ò Ó) ➚Ô❉Ï➻❮ÕÖ×Ø➶ dx ➼❰ÙÚ (➻ Û ) ❉➻Û➼➻ØÜÝÙ✧ÞßàáÞâãäå❒æ➬❉ çè➻ÛéêëãÏìí➷➬ x î x + dx ï éðñê➼òó❉ ô 13.1 õö÷øù tan θ1 = ∂u ∂x x , tan θ2 = ∂u ∂x x+dx ú ❢ûr ➊➋➌➍ ✻✧ü ýþÿ ✁✂ ❑ ✄ ❑ T ✻ ❡☎ ✧✆✝✿❺ ✁✂ ❑❉✞ ❀✧✟✠ ✡☛ ❑✻❡☎ ❉ ☞✌✍ (T sin θ)x+dx − (T sin θ)x = dm ∂ 2u ∂t2 , (T cos θ)x+dx − (T cos θ)x = 0. ➫➭➯✎✏ ë x + dx ❄ x ✑✒ ✓✔⑩❀✕✖ ✁✗✘✙✚ u(x + dx, t) − u(x, t) ✧❄ dx ✛✜r ⑩✢✣✤✧✥ |∂u/∂x| 1. ÏÙ✦✧★✩✪✧ sin θ ≈ tan θ = ∂u ∂x ✫✬✭∂u ∂x➼✮✯✰ , cos θ ≈ 1 ✫✬✭∂u ∂x➼✱✯✰
第十三讲数学物理方程:数学建模 3页 这样,就有 (T)x+dr-T)=0 p(T)x+dr=T) 说明T不随x变化,弦中各点的张力相等.于是, r+dr dr dr2 其中P是弦的线密度(单位长度的质量).定义 则方程可以写成 au a就是弦的振动传播速度 还可以证明:在小振动近似下,张力T与t无关.这是因为弦元的伸长 ds-dx=√au2+dx2-dr 1+ 1 dr=C 所以,在准确到∂u/ωr的一级项(即小振动近似)的条件下,弦元的长度不随时间变化 因此,按照 Hooke定律,T也不随时间变化 前面又已经证明过,T也不随x变化,所以T是一个常数 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作用,设单位长度所受的外力为f,则仿照 前面的推导,有 其中的非齐次项f/是单位质量所受的外力
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☎✆☛☞ ✌ 3 ✍ ✲✳✧✴✍ (T )x+dx − (T )x = 0 ✵ (T )x+dx = (T )x, ✶ ✷ T ✸✹ x ✺✻✧➑✼✽✾➎✿❀❁❂ ❉à❒ ✧ ρdx ∂ 2u ∂t2 = T " ∂u ∂x x+dx − ∂u ∂x x # = T ∂ 2u ∂x2 dx, ✵ ρ ∂ 2u ∂t2 − T ∂ 2u ∂x2 = 0, ❃ ❄ ρ ❒ ➻➼❅❆❇ (❈ ➚Ø❇➼ æ❉) ❉❊❋ a = s T ρ , ●❍■áÞ❏å ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0. a ✴ ❒ ➻➼✦✧❑▲▼❇❉ ◆❖ ✈P ◗ë❘✣❙❘❚❯❱✧ ✿❀ T ❲ t ❳❨ ❉♦r ú ❢û❩ ✻❬❭ ds − dx = p du 2 + dx 2 − dx = s 1 + ∂u ∂x2 − 1 dx = O ∂u ∂x2 , ✸ ✈✧❘❪❫ÿ ∂u/∂x ✻⑩❴❵ (✥✣❙❘❚❯) ✻❛❜❱ ✧ û❩ ✻❭❝❞❡❀ ✓❝❞❉ ú❅✧❢❣ Hooke ❤❦ ✧ T ❁❞❡❀ ✓❝❞❉ ✐ ❥❦ ❧♠P ◗♥✧ T ❁❞❡ x ❝❞✧✸ ✈ T ♦ ➈➉♣q❉ rs➻Ï Ò Ó (✵ ➚Ô u ➼t Ó) ❮✉éð✈ê➼òó✧❐ ❈ ➚Ø❇✇é➼✈ê➶ f ✧●①② ③④➼⑤⑥✧✍ ρdx ∂ 2u ∂t2 = T ∂ 2u ∂x2 dx + fdx. ☞✌✧ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f ρ , ❃ ❄➼⑦⑧⑨✰ f /ρ ❒❈ ➚ æ❉ ✇é➼✈ê❉
13.2杆的纵振动方程 4 813.2杆的纵振动方程 考虑一均匀细杆,沿杆长方向作小振动.假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况 (即位移)完全相同 如图13.2,取杆长方向为x轴方向,垂直于杆长方向的 各截面均用它的平衡位置x标记 Pl+ds, tI 在任一时刻t,此截面相对于平衡位置的位移为u(x,t) ★在杆中隔离出一小段(x,x+dx),分析受力 ·通过截面x,受到弹性力P(x,t)S的作用 通过截面x+dx受到弹性力P(x+dx,t)S的作用 图13.2杆的纵振动应力与应变 P(x,t)为单位面积所受的弹性力(应力),沿x方向为正 因此,根据 Newton第二定律,就得到 8u=[P(+dr, t)-P(, t)s 若杆的密度为p,则dm=pdx.S 如果略去垂直杆长方向的形变,根据 Hooke定律 应力P与应变au/x成正比P=E 比例系数E称为杆的 YOung模量,它是一个物质常数.这样,就得到了杆的纵振动方程 a-u 其中 E 杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同,但它们满足的偏微分方程的形式却完全一样 这一类方程统称为波动方程 更一般地,在三维空间中的波动方程是 02u -a-vu=0, 其中V三x22a22称为 Laplace算符, V2=VV即V2u=V·(Va)
Wu Chong-shi §13.2 ⑩❼❶❾❿✟✠ ✌ 4 ✍ §13.2 ❷➁❸➃➄➅➆ ❹❺➈➏➐❻❼✧➒❼❽➟❾➩➫➭➯❉❿➀➥➁→❼❽➟❾➎➂➈➃➧➨✽✾➎➭➯➄➅ (➆➇➈) ➊➋❁➦❉ F r➉ 13.2 ✧➺➊Ø❍ Ó ➶ x ➹ ❍ Ó ✧➋➌à➊Ø❍ Ó ➼ ➍➎④➏óã➼➽➾➚➪ x ➱➐❉ F Ï➑❰ ÐÑ t ✧✌➎④➒➓à➽➾➚➪➼➚Ô➶ u(x, t) ❉ F Ï➊ ❄ÕÖ×❰ÙÚ (x, x + dx) ✧çèéêë • ➔→➎④ x ✧éð➣↔ê P(x, t)S ➼òó • ➔→➎④ x + dx éð➣↔ê P(x + dx, t)S ➼òó P(x, t) ➶ ❈ ➚④↕✇é➼➣↔ê (➙ ê ) ✧➛ x ❍ Ó ➶t❉ ô 13.2 ➜ö➝øù ➞➟➠➞➡ ☞✌✧➢➤ Newton ➥ ✱❊➦✧✴➧ð dm ∂ 2u ∂t2 = [P(x + dx, t) − P(x, t)] S. ➨➊➼❆❇➶ ρ ✧● dm = ρ dx · S ✧ ρ ∂ 2u ∂t2 = ∂P ∂x . rs✫✬➋➌➊Ø❍ Ó ➼➩➫✧➢➤ Hooke ❊➦✧ ➙ ê P ✃➙ ➫ ∂u/∂x åt ➭ P = E ∂u ∂x, ➭➯➲➳ E ➵ ➶➊➼ Young ➸❉✧ã❒ ❰í➺ æ➻ ➳❉✲✳✧✴➧ð✭ ➊➼➼✦✧❍■ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, ❃ ❄ a = s E ρ . ➊➼➼✦✧✃ ➻➼Ò ✦✧➽➾➚➪➶➹➒➘✧➴ã➷➬Ü➼➮➱ç❍■➼➩✃❐➶➹❰✳❉ ✲❰❒❍■❮➵ ➶ ❰➯➟➸ ❉ Ï❰ÐÑ✧Ï✮ÒÓÔ ❄➼Õ✧❍■❒ ∂ 2u ∂t2 − a 2∇ 2u = 0, ❃ ❄ ∇2 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 ➵ ➶ Laplace Ö×✧ ∇ 2 = ∇ · ∇ ✵ ∇ 2u = ∇ · (∇u)