第二十四讲柱函数(三 §24.1半奇数阶 Bessel函数 本节讨论另一类特殊的 Bessel函数:半奇数阶的 Bessel函数 先讨论J1/2(x) 2k+1/2 J1/2(x) T(k+3/2 所以,J1/2(x)是初等函数.同样也能推出 实际上,把J(x)的两个递推关系改写成 xJ/(x)=x"-1J-1(x) 1 d 就可以得到 2(x) n+1/2( 1a)x-11( 因此,任意一个半奇数阶 Bessel函数都是初等函数,都是幂函数和三角函数的复合函数 显然,Jn+1/2(x)与J-(n+12)(x)是线性无关 Wun+(-a+p(-(-y-+2 而Nn+1/2(x)与J-(m+1)(x)线性相关, Nn+1/2(x) cos(n+1/2)丌:Jn+1/2(x)-J-(m+1/2(x) (n+1/2)丌
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎ ✆ ✝ ✞ (✟) §24.1 ✠✡☛☞ Bessel ✌☛ ✍✎✏✑✒✓✔✕✖✗ Bessel ✘✙✚✛✜✙✢✗ Bessel ✘✙✣ ✤✏✑ J1/2(x) ✚ J1/2(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + 3/2) x 2 2k+1/2 = r 2 πx X∞ k=0 (−) k (2k + 1)!x 2k+1 = r 2 πx sin x. ✥✦✧ J1/2(x) ★✩✪✘✙✣✫✬✭✮✯✰ J−1/2(x) = r 2 πx cos x. ✱✲✳✧✴ Jν(x) ✗✵✶✷✯✸✹✺✻✼ 1 x d dx x ν Jν(x) = x ν−1 Jν−1(x), − 1 x d dx x −ν Jν(x) = x −(ν+1)Jν+1(x), ✽✾✦✿❀ x −n+1/2 J−n+1/2(x) = 1 x d dx n x 1/2 J1/2(x) = 1 x d dx nr 2 π sin x, x −n−1/2 Jn+1/2(x)= − 1 x d dx n x −1/2 J1/2(x)= − 1 x d dx nr 2 π sin x x . ❁❂✧❃❄✓✶✛✜✙✢ Bessel ✘✙❅★✩✪✘✙✧ ❅★❆✘✙❇❈❉✘✙✗❊❋✘✙✣ ●❍✧ Jn+1/2(x) ■ J−(n+1/2)(x) ★❏❑▲✸✗✧ W[Jn+1/2(x), J−(n+1/2)(x)] = (−) n+1 2 πx . ▼ Nn+1/2(x) ■ J−(n+1/2)(x) ❏❑◆✸✧ Nn+1/2(x) = cos(n + 1/2)π · Jn+1/2(x) − J−(n+1/2)(x) sin(n + 1/2)π = (−) n+1J−(n+1/2)(x)
球 Bessel 824.2球 Bessel函数 Helmholtz方程V2a+k2u=0在球坐标系下分离变量时,我们曾经得到常微分方程 l d/ drY r2 d 在一般情况下M=l(1+1),l=0,1,2,……本节就讨论这个方程的求解问题 k=0:两个线性无关解是r和r-1-1 (见第20讲) ★k≠0:可作变换x=kr和y(x)=R(r),将方程变为 l(l+1 G(2a)+[1 y(x)=0. 这个方程称为球 Bessel方程,它的形式和 Bessel方程非常相似 球 Bessel方程也有两个奇点,一个是x=0,正则奇点,一个是x=∞,非正则奇点,也和 Bessel方程相同 ★因此,可以试图将它化为 Bessel方程 考虑到这个方程在x=0点的指标方程 p(p-1)+2p-l(l+1)=0 因而指标为P1=1和p2=-(1+1),和 Bessel方程的指标p=±u不同,故应该作变换 这样,可以预料,v(x)的微分方程在x=0点的指标就会变为 和Bess方程的特点完全一样.这样,(x)所满足的微分方程就是 (+1/2)2 正是l+1/2阶的 Bessel方程.它的两个线性无关解就是Jl+1/2(x)和N+1/2(x)·在此基础上,就 可以将球 Bessel方程(1784)的线性无关解取为 j (a) J+12(4)÷分 nr(n+l+3/2)(2 n(x)=(-)+-1(x)=yzN+() 、(-) 2n-1-1 分别称为l阶球 Bessel函数和球 Neumann函数
Wu Chong-shi §24.2 ❖ Bessel P◗ ❘ 2 ❙ §24.2 ❚ Bessel ✌☛ Helmholtz ❯❱ ∇2u+k 2u= 0 ❲❳❨❩✹❬❭❪❫❴❵✧❛❜ ❝❞✿❀❡❢❭❯❱ 1 r 2 d dr r 2 dR dr + k 2 − λ r 2 R = 0. ❲ ✓❣❤✐❬ λl = l(l + 1), l = 0, 1, 2, · · · ✣ ✍✎✽✏✑❥✶❯❱✗❦❧♠♥✣ F k = 0 ✚ ✵✶❏❑▲✸❧ ★ r l ❇ r −l−1 ✣ (♦♣ 20 q) F k 6= 0 ✚ ✾r❫s x = kr ❇ y(x) = R(r) ✧t❯❱❫✉ 1 x 2 d dx x 2 dy dx + h 1 − l(l + 1) x 2 i y(x) = 0. ❥✶❯❱✈✉❳ Bessel ❯❱✧✇✗①②❇ Bessel ❯❱③❡ ◆④✣ F ❳ Bessel ❯❱✭⑤✵✶✜⑥✧✓✶★ x = 0 ✧⑦⑧✜⑥✧✓✶★ x = ∞ ✧ ③ ⑦⑧✜⑥✧ ✭❇ Bessel ❯❱◆✫✣ F ❁❂✧✾✦⑨⑩t✇❶✉ Bessel ❯❱✣ ❷❸❀❥✶❯❱❲ x = 0 ⑥ ✗❹❩❯❱ ρ(ρ − 1) + 2ρ − l(l + 1) = 0, ❁▼❹ ❩✉ ρ1 = l ❇ ρ2 = −(l + 1) ✧ ❇ Bessel ❯❱✗❹❩ ρ = ±ν ❺✫✧❻❼❽r ❫s y(x) = v(x) √ x , ❥ ✬ ✧✾✦❾❿✧ v(x) ✗❢ ❭❯❱❲ x = 0 ⑥ ✗❹❩ ✽➀❫✉ ρ = ± l + 1 2 , ❇ Bessel ❯❱✗✕⑥➁➂✓ ✬✣❥ ✬ ✧ v(x) ✥➃➄✗❢ ❭❯❱✽ ★ 1 x d dx x dv dx + 1 − (l + 1/2)2 x 2 v = 0. ⑦ ★ l + 1/2 ✢ ✗ Bessel ❯❱✣✇✗✵✶❏❑▲✸❧✽★ Jl+1/2(x) ❇ Nl+1/2(x) ✣❲❂➅➆✳✧✽ ✾✦t❳ Bessel ❯❱ (17.84) ✗ ❏❑▲✸❧➇✉ jl(x) = r π 2x Jl+1/2(x) = √ π 2 X∞ n=0 (−) n n! Γ (n + l + 3/2) x 2 2n+l nl(x) = (−) l+1j−l−1(x) = r π 2x Nl+1/2(x) = (−) l+1 √ π 2 X∞ n=0 (−) n n! Γ (n − l + 1/2) x 2 2n−l−1 , ❭➈✈✉ l ✢❳ Bessel ✘✙❇❳ Neumann ✘✙✣
前几个球 Bessel函数和球 Neumann函数(图形见图21)的表达式是 sIn -r cos n(z)=-(cosT+asina i(a)=(3-2):inx-3xwsn2(2)=-[(8-2)x+3x j1(a) j2(x) n1(x) 图24.1球 Bessel函数jn(x)和球 Neumann函数n(x),细灰线是它们的渐近线y=±1/x 类似地,也还可以定义球 Hankel函数 hg(x)=i()+in(x),2()=i(x)-in() 例241将函数 elk cos按 Legendre多项式展开 解设 =∑e(kr)P(cos0), 则展开系数 (ikr) a"PI(a)dz n=0 利用第19讲第4节的结果,就有 2+1、(ikn) Pi(ar)dr )”_a1+2n,(+2n) (+2n)! n!r(n+l+3/2) kr)/+2n n!r(n+l+3/2 (2+1)￥i(kr)
Wu Chong-shi ➉➊➋➌➍ (➎) ➏ P ◗ (➐) ❘ 3 ❙ ➑➒✶❳ Bessel ✘✙❇❳ Neumann ✘✙ (⑩① ♦ ⑩ 24.1) ✗➓➔②★✚ j0(x) = sin x x , n0(x) = − cos x x , j1(x) = 1 x 2 sin x − x cos x , n1(x) = − 1 x 2 cos x + x sin x , j2(x) = 1 x 3 h 3 − x 2 sin x − 3x cos x i ; n2(x) = − 1 x 3 h 3 − x 2 cos x + 3x sin x i . → 24.1 ➣ Bessel ↔↕ jl(x) ➙➣ Neumann ↔↕ nl(x) ➛➜➝➞➟➠➡➢➤➥➞ y = ±1/x ✔ ④➦✧ ✭➧✾✦➨➩❳ Hankel ✘✙ h (1) l (x) = jl(x) + i nl(x), h (2) l (x) = jl(x) − i nl(x). ➫ 24.1 t ✘✙ e ikr cos θ ➭ Legendre ➯➲②➳➵✣ ➸ ➺ e ikr cos θ = X∞ l=0 cl(kr)Pl(cos θ), ⑧➳➵✹✙ cl(kr) = 2l+1 2 Z 1 −1 e ikrxPl(x)dx = 2l+1 2 X∞ n=0 (ikr) n n! Z 1 −1 x nPl(x)dx. ➻➼♣ 19 q♣ 4 ✎✗➽➾✧✽ ⑤ cl(kr) = 2l + 1 2 X∞ n=0 (ikr) l+2n (l + 2n)! Z 1 −1 x l+2nPl(x)dx = 2l + 1 2 i l X∞ n=0 (−) n (l + 2n)!(kr) l+2n · (l + 2n)! 2 l+2n n! √ π Γ (n + l + 3/2) = 2l + 1 2 i l√ π X∞ n=0 (−) n n! Γ (n + l + 3/2) kr 2 l+2n = (2l + 1) il jl(kr)
§242球 Bessel函数 4 所以,最后就有展开式 ekr cose=>(21+1)i j(kr)PI(cos 0) 另法因为 eiker cos e=ek2是 Helmholtz方程的解 故应有 ers=∑Ai(kr)P(cs 现在的问题是如何定出系数At? 2l+1 ALj(hr irr 2+11 N、/P(1i/, elkrzpl(r)dz 21+11 面 ()-m(-(+)-)+0() 丌)+O 2)+e-+O(产 因此 21+1 即A1=(2+1)i2 最后就得到晨开式 Ikr cos e=>(21+1)ij(kr)PI(cos 0) 也可以赋予这个展开式一个物理解释:平面波按球面波展开.这是因为,若规定定相位的时 间因子为e-t,且r和0为球坐标,则上式左端是向=0(即正z轴)方向传播的平面波,波数 为k,而右端每一项中的i(kr)则具有球面波的相位因子 l丌
Wu Chong-shi §24.2 ❖ Bessel P◗ ❘ 4 ❙ ✥✦✧➚➪✽ ⑤ ➳➵② e ikr cos θ = X∞ l=0 (2l + 1) il jl(kr) Pl(cos θ). ➶➹ ❁ ✉ e ikr cos θ = eikz ★ Helmholtz ❯❱✗❧ ∇2 + k 2 e ikr cos θ = 0, ❻❼⑤ e ikr cos θ = X∞ l=0 Aljl(kr)Pl(cos θ). ➘ ❲ ✗♠♥★➴➷➨ ✰✹✙ Al ➬ Aljl(kr) = 2l + 1 2 Z 1 −1 e ikrxPl(x)dx = 2l + 1 2 " 1 ikr e ikrxPl(x) 1 −1 − 1 ikr Z 1 −1 e ikrxP 0 l (x)dx # = 2l + 1 2 1 ikr e ikr − (−) l e −ikr + O 1 r 2 . ✒✓❯➮✧ jl(kr) = 1 kr cos kr − 1 2 l + 1 2 π − π 4 + O 1 r 2 = 1 kr cos kr − l + 1 2 π + O 1 r 2 = 1 2kr (−i)l+1e ikr + il+1e −ikr + O 1 r 2 = 1 2kr (−i)l+1 e ikr − (−) l e −ikr + O 1 r 2 , ❁❂✧ Al (−i)l+1 2 = 2l + 1 2i ➱ Al = (2l + 1)il , ➚➪✽✿❀➳➵② e ikr cos θ = X∞ l=0 (2l + 1) il jl(kr) Pl(cos θ). ✭ ✾✦✃❐❥✶➳➵②✓✶❒❮❧❰✚ ÏÐÑÒÓÐÑÔÕ✣❥ ★ ❁ ✉ ✧Ö×➨➨◆Ø✗ ❵ Ù❁Ú✉ e −iωt ✧Û r ❇ θ ✉❳❨❩✧⑧✳②ÜÝ★ Þ θ = 0 (➱ ⑦ z ß) ❯ Þàá✗â➮ã✧ ã✙ ✉ k ✧▼äÝå✓➲ æ✗ jl(kr) ⑧ç⑤❳➮ã✗ ◆Ø❁Ú✧ jl(kr) ∼ 1 kr sin kr − lπ 2 .
第二十四讲(一)柱函数(三 第5页 第二十四讲(二)分离变量法总结( 到现在为止,我们已经处理了几种典型的偏微分方程定解问题,介绍了求解这些定解问题的 种有效方法,分离变量法.这种方法,当然有一定的适用条件,例如,要求方程和定解条件都是 线性的,因此定解问题的解具有叠加性.在第15讲中,我们曾经结合具体的求解过程,分析了这 种解法对于定解问题的要求.特别是,曾经指出(见151节这种方法是否能够普遍地应用于求解 偏微分方程定解问题,在理论上,取决于下列几个问题 1.本征值问题是否一定有解,换勺话说,在什么条件下,本征值问题一定有解; 2.定解问题的解是否一定可以按照某一组本征函数展开,换句话说,在什么条件下,本征函 数是完备的; 3.本征函数是否一定具有正交性. 从这一讲开始,我们就要从理论上回答这几个问题,从而为分离变量法奠定一个坚实的理论基础 当然,严格说来,这里介绍的也只是充分条件.在一般物理间题中,这些条件是能够满足的 241内积空间与函数空间 1.内积与内积空间 设在数域K上定义了n维矢量空间v,它的元素(矢量)用x,y,…表示.可以把三维矢量 空间中矢量的长度的概念推广到n维矢量空间.为此,先定义n维矢量的内积 对于实n维矢量空间(即K为实数域),在选定了一组基{ea,i=1,2,…,n}之后,空间中的 任意一个矢量c都可以用它在这一组基上的投影(坐标) 表 =a1e1+T2e2+'+inen=>iei 对于空间中的矢量x和y,最常见的内积定义为 (x,y)=n1+22+…+n=∑x孙 这是一个实数.显然有 x,)=(y,m)和x,x)≥0 并且,当且仅当x=0时,才有(x,)=0.在此基础上,就可以定义矢量c的长度|l‖ 对于复n维矢量空间,如果仍保留上述内积定义,容易看出,这时的矢量长度就可能不是实
Wu Chong-shi ➉➊➋➌➍ (➎) ➏ P ◗ (➐) ❘ 5 ❙ ✁✂ ✄☎ (✁ ) èéêëìíî (ï) ❀➘❲✉ð✧❛❜ ñ❞ò❮ó➒ôõö✗÷❢ ❭❯❱➨❧♠♥✧øùó❦❧❥ú➨❧♠♥✗ ✓ô⑤û❯ü✧ ❭❪❫❴ü✣❥ô❯ü✧ý❍ ⑤ ✓➨✗þ➼ÿ✧✁ ➴ ✧✂❦ ❯❱❇➨❧ÿ ❅★ ❏❑✗✧❁❂➨❧♠♥✗❧ç ⑤✄☎❑✣❲♣ 15 q æ✧❛❜ ❝❞➽❋ç✆✗❦❧✝ ❱ ✧ ❭✞ ó❥ ô❧ü✟✠➨❧♠♥✗✂❦ ✣ ✕ ➈★✧❝❞❹ ✰ (♦ 15.1 ✎ ) ❥ô❯ü★✡✮☛☞✌➦ ❼➼ ✠ ❦❧ ÷❢ ❭❯❱➨❧♠♥✧ ❲ ❮✑✳✧➇✍ ✠❬✎ ➒✶♠♥✚ 1. ✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✚✧✛ ✜✢✣✧✤✥ ✦✧★✩✧ ✏✑✒ ✓✔✗✘✙✚✪ 2. ✘✚ ✓✔✫✚✕✖✗✘✬ ✭✮✯ ✰✗✱✏✑✲✳✴✵✧✛ ✜✢✣✧✤✥ ✦✧★✩✧ ✏✑✲ ✳✕ ✶✷✫✪ 3. ✏✑✲✳✕✖✗✘✸✙✹✺✻✣ ✼❥✓q ➵✽✧❛❜✽✂✼❮✑✳ ✾✿❥➒✶♠♥✧✼▼ ✉❭❪❫❴ü❀ ➨✓✶❁✱✗❮✑➅➆✣ ý❍✧❂❃❄❅✧❥❆øù✗ ✭❇★❈❭ ÿ ✣❲✓❣❒❮♠♥ æ ✧❥úÿ ★✮☛ ➃➄✗ ✣ §24.1 ❉❊❋●❍✌☛❋● 1. ■❏❑■❏▲▼ ➺ ❲✙◆ K ✳➨➩ó n ❖ P◗▲▼V ✧✇✗ ❘❙ (P◗) ➼ x, y, · · · ➓❚ ✣ ✾✦✴❈❖❯❴ ❱Ù æ❯❴ ✗ ❲❳ ✗❨❩✯❬ ❀ n ❖❯❴ ❱Ù ✣✉❂✧✤➨➩ n ❖❯❴ ✗ ■❏ ✣ ✟✠✱ n ❖❯❴ ❱Ù (➱ K ✉ ✱ ✙◆) ✧ ❲❭ ➨ó✓❪➅ {ei , i = 1, 2, · · · , n} ❫ ➪✧❱Ù æ ✗ ❃❄✓✶❯❴ x ❅ ✾✦➼✇ ❲ ❥✓❪➅✳✗❴❵ (❨❩) x1, x2, · · · , xn ➓❚✧ x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen = Xn i=1 xiei . ✟✠❱Ù æ ✗ ❯❴ x ❇ y ✧➚❡♦ ✗ ❛❜➨➩✉ (x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = Xn i=1 xiyi . ❥ ★ ✓✶✱ ✙✣●❍⑤ (x, y) = (y, x) ❇ (x, x) ≥ 0, ❝Û✧ýÛ❞ý x = 0 ❵ ✧❡ ⑤ (x, x) = 0 ✣❲❂➅➆✳✧✽✾✦➨➩❯❴ x ✗❢❣ kxk kxk = (x, x) 1/2 . ✟✠❊ n ❖❯❴ ❱Ù✧ ➴ ➾❤✐ ❥✳❦ ❛❜➨➩✧❧♠♥✰ ✧❥ ❵ ✗ ❯❴ ❢❣✽✾✮❺★✱