第二十一讲球函数(三) 8211连带 Legendre函数 本节讨论连带 Legendre方程 d (1-x2) an1+(x-1- r2 在有界条件 (±1)有界 下的解 方法是试图找出连带 Legendre方程和 Legendre方程之间的关 首先分析连带 Legendre方 d 在奇点处的性质.连带 Legendre方程的奇点和 Legendre方程完全一样,都是z=±1和z=∝ 而且也都是正则奇点.在z=±1处的指标方程是 p(p-1)+p40 所以,指标为 这说明,连带 Legendre方程的解可以写成 u(2)=(1- v(a) 的形式.代入方程,就可以得到v(2)所满足的方程 (1-2)v”-2m+1)2+[-m(m+1)]=0 这时(z)在z=±1的指标为0与-m.指标为-m的解在z=±1点一定是发散的 用数学归纳法可以证明,方程()可以通过 Legendre方程微商m次而得到 m=0时显然正确
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ (✟) §21.1 ✠✡ Legendre ☛☞ ✌ ✍✎✏✑✒ Legendre ✓✔ d dx 1 − x 2 dy dx + λ − m2 1 − x 2 y = 0 ✕✖✗✘✙ y(±1)✖✗ ✚✛✜✢ ✓✣✤✥ ✦✧ ★✑✒ Legendre ✓✔✩ Legendre ✓✔✪ ✫✛ ✬✭✢ ✮✯✰✱✲✳ Legendre ✴✵ d dz 1 − z 2 dw dz + λ − m2 1 − z 2 w = 0 ✶✷✸✹✺✻✼✢✲✳ Legendre ✴✵✺✷✸✽ Legendre ✴✵✾✿❀❁❂❃❄ z = ±1 ✽ z = ∞ ❂ ❅❆❇❃❄❈❉✷✸✢✶ z = ±1 ✹✺❊❋✴✵❄ ρ(ρ − 1) + ρ − m2 4 = 0, ●❍❂ ❊❋■ ρ = ± m 2 . ❏❑ ▲❂ ✲✳ Legendre ✴✵✺▼◆❍❖P w(z) = 1 − z 2 m/2 v(z) ✺◗❘✢❙❚✴✵❂❯◆❍❱❲ v(z) ●❳❨✺ ✴✵ 1 − z 2 v 00 − 2(m + 1)zv0 + [λ − m(m + 1)]v = 0. (z) ❏❩ v(z) ✶ z = ±1 ✺❊❋■ 0 ❬ −m ✢❊❋■ −m ✺▼✶ z = ±1 ✸ ❀❭❄❪❫✺✢ ❴❵❛❜❝❞◆❍❡ ▲ ❂✴✵ (z) ◆❍❢❣ Legendre ✴✵❤✐ m ❥ ❅❱❲✢ F m = 0 ❩❦❧❈♠✢
§21.1连带 Legendre函数 设m=k时成立 2(k+1)2(()+A-k(k+1 再微商一次 1-2)()y-2:()-2k+1)2()-2k+1)()+-+1)()=0 这样就得到 1-2)((+1)-2(k+2)2(+)+-(k+10+2)+)=0 命题得证 于是,连带 Legendre方程在环域0<|z-11<2内的解就是 ()=1(1-2)mPm()+2(1-2)2Qm( 其中A=(u+1).下面再用有界条件定出本征值和本征函数 首先要求在x=1点有界 PL(x)在 点是有界的 Q(x)在x=1点是对数发散的 ★(1-2)m/Pm(x)在x=1点也是有界的,它是连带 Legendre方程在x=1点的邻域内指标 p=m/2的解. ★Qm)(x)在x=1点是以(x-1)-m的方式发散的,所以,(1-)m/Qm()在x=1点也 定是发散的,它正是连带 Legendre方程在x=1点的邻域内指标p=-m/2的解 有界条件要求解在x=1点有界,所以,C2=0 再要求在x=-1点有界 ★对于一般的v值,只要P(x)是无穷级数,它在=-1点就是对数发散的 ★x=-1点就是P如)(x)的m阶极点 ★所以,(1-x2)mP()在x=-1点也还是发散的 ★为了满足在x=-1点有界的要求,唯一的可能是P(x)断成多项式,即v为非负整数. ★由于在解中出现的是Pm(x),所以必须有v≥m 总结上面的讨论,就求出了连带 Legendre方程在有界条件下的解 本征值X=1(+1),l=m,m+1,m+2, 本征函数(x)=a1(1-x2)m2pm(x) 通常取c1=(-)m,而将本征函数记为P(x) Pr()=(-)y(1-x2)m/Pm)(x
Wu Chong-shi §21.1 ♥♦ Legendre ♣q r 2 s F t m = k ❩P✉❂ 1 − z 2 v (k) 00 − 2(k + 1)z v (k) 0 + [λ − k(k + 1)] v (k) = 0. ✈ ❤✐❀❥❂ 1 − z 2 v (k) 000 − 2z v (k) 00 − 2(k + 1)z v (k) 00 − 2(k + 1) v (k) 0 + [λ − k(k + 1)] v (k) 0 = 0, ❏ ❁❯❱❲ 1 − z 2 v (k+1)00 − 2(k + 2)z v (k+1)0 + [λ − (k + 1)(k + 2)]v (k+1) = 0. ✇①❱❡✢ ② ❄❂✲✳ Legendre ✴✵✶③④ 0 < |z − 1| < 2 ⑤ ✺▼❯❄ w(z) = c1 1 − z 2 m/2 P (m) ν (z) + c2 1 − z 2 m/2 Q (m) ν (z), ⑥ ⑦ λ = ν(ν + 1) ✢⑧⑨✈❴⑩❶❷❸❭❹❺❻❼✽ ❺❻❽❵✢ ✮✯ ❾❿➀ x = 1 ➁➂➃ ✢ F Pν(x) ✶ x = 1 ✸ ❄ ⑩❶✺✢ F Qν(x) ✶ x = 1 ✸ ❄➄❵ ❪❫✺✢ F 1 − x 2 m/2 P (m) ν (x) ✶ x = 1 ✸❇ ❄ ⑩❶✺ ❂➅❄✲✳ Legendre ✴✵✶ x = 1 ✸✺➆④ ⑤ ❊❋ ρ = m/2 ✺▼✢ F Q (m) ν (x) ✶ x = 1 ✸ ❄ ❍ (x − 1)−m ✺ ✴ ❘ ❪❫✺ ❂ ●❍❂ 1 − x 2 m/2 Q (m) ν (x) ✶ x = 1 ✸❇ ❀ ❭❄❪❫✺ ❂➅❈❄✲✳ Legendre ✴✵✶ x = 1 ✸✺➆④ ⑤ ❊❋ ρ = −m/2 ✺▼✢ F ⑩❶❷❸➇➈▼✶ x = 1 ✸⑩❶❂ ●❍❂ c2 = 0 ✢ ✈ ❾❿➀ x = −1 ➁➂➃ ✢ F ➄ ② ❀➉✺ ν ❼❂➊➇ Pν(x) ❄➋➌➍❵ ❂➅✶ x = −1 ✸ ❯❄➄❵ ❪❫✺✢ F x = −1 ✸ ❯❄ P (m) ν (x) ✺ m ➎➏✸ ❂ F ●❍❂ 1 − x 2 m/2 P (m) ν (x) ✶ x = −1 ✸❇➐❄❪❫✺✢ F ■➑❳❨✶ x = −1 ✸⑩❶✺➇➈❂➒❀✺◆➓❄ Pν(x) ➔ P→➣❘ ❂↔ ν ■↕➙➛❵✢ F ➜ ②✶▼ ⑦ ❹➝✺ ❄ P (m) ν (x) ❂ ●❍➞➟⑩ ν ≥ m ✢ ➠➡➢⑨✺➤➥❂❯➈ ❹ ➑✲✳ Legendre ✴✵✶⑩❶❷❸⑧✺▼ ❺❻❼ λl = l(l + 1), l = m, m + 1, m + 2, · · · ❺❻❽❵ yl(x) = c1 1 − x 2 m/2 P (m) l (x). ❢➦➧ c1 = (−) m ❂ ❅➨❺❻❽❵➩■ P m l (x) ❂ P m l (x) = (−) m 1 − x 2 m/2 P (m) l (x),
称为m阶l次连带 Legendre函数 连带 Legendre函数,也是作为本征值问题的解、即连带 Legendre方程在有界条件下的本征函 数引入的,因此,连带 Legendre函数也应当具有正交性:相同阶但不同次的连带 Legendre函数 在区间-1,1上正交 P(x)Pk(x)dx=0,k≠l 这里注意的是,对于连带 Legendre方程来说,m是固定的已知参数,因此,在上面的 正交关亲中,连带 Legendre函数的阶数m必须是相同的 可以从方程出发,并应用有界条件,来证明正交关糸.这是证明本征函数正交性的标准 方法 下面换一个做法,采用和证明 Legendre多项式的正交性类似的办法 证由于k≠l,不妨假设k<1.于是,代入连带 Legendre函数的定义,并分部积分,即得 Pl(aPk(a)dx dmPk(a)dmPl(a) drm -2)ByP/a-2)mPB山 dmPk(a) dm-P(a 分部积分一次的结果除了在积分号前增加一个负号外,就只不过是将被积函数中P(x)的微商转 移一次到其余的因子上,可以预料,在分部积分m次后,就应当得到 Pi()Pk(ar)dx=(-) a2)m dP*(a) darm Pi(z)dz 注意上式右方的被积函数是l次 Legendre多项式和另一个多项式 (1-x2) 的乘积.容易求出这个多项式的次数为k-m+2m-m=k.由于k<l,立即就证得连带 Legendre 函数的正交性.口 作变换x=cosθ,还可以得到连带 Legendre函数正交性的另一种表达形式,即 PI(cos 0)Pk(cos 0)sin ede=0, k+l 注意,这里出现了正交权重sin6 完全模仿前面的做法,还能求得连带 Legendre函数的模方.这只要在以上证明过程的各式中
Wu Chong-shi ➫➭➯➲➳ ➵ ♣ q (➸) r 3 s ➺■ m ➎ l ❥ ✲✳ Legendre ❽ ❵✢ ✲✳ Legendre ❽ ❵ ❂ ❇ ❄➻■ ❺❻❼➼①✺▼➽↔ ✲✳ Legendre ✴✵✶⑩❶❷❸⑧✺ ❺❻❽ ❵➾❚✺ ❂ ➚➪❂ ✲✳ Legendre ❽ ❵❇➶➹➘⑩ ❈➴✻➷ ➬➮➱✃❐➮❒❮❰Ï Legendre ÐÑ ➀ÒÓ [−1, 1] ÔÕÖ ❂ Z 1 −1 P m l (x)Pm k (x)dx = 0, k 6= l. ×ØÙÚ✛ ✤❂ÛÜ✑✒ Legendre ✓✔ÝÞ❂ m ✤ ßà✛ áâãä❂åæ❂✕ç è✛ éê ✬✭ë❂ ✑✒ Legendre ìä✛íä m îï✤ð ñ✛✢ ò óô✓✔ ★õ❂ö÷ø✖✗✘✙❂Ýù úéê ✬✭✢× ✤ù ú✌ûìäéêü✛ýþ ✓✣✢ ✚ èÿ✁✂✣❂✄ ø ✩ù ú Legendre ☎✆✝✛éêü ✞✟✛✠ ✣✢ ✡ ➜ ② k 6= l ❂ ☛☞✌t k < l ✢② ❄❂❙❚✲✳ Legendre ❽ ❵✺ ❭✍❂ ✎✰✏✑✰ ❂↔ ❱ Z 1 −1 P m l (x)Pm k (x)dx = Z 1 −1 1 − x 2 m d mPk(x) dxm d mPl(x) dxm dx = 1 − x 2 m d mPk(x) dxm d m−1Pl(x) dxm−1 1 −1 − Z 1 −1 d dx 1 − x 2 m d mPk(x) dxm d m−1Pl(x) dxm−1 dx = − Z 1 −1 d dx 1 − x 2 m d mPk(x) dxm d m−1Pl(x) dxm−1 dx. ✰✏✑✰ ❀❥✺➡✒✓➑✶✑✰✔✕✖✗❀✘ ➙✔✙❂❯➊☛❣ ❄ ➨✚✑ ❽ ❵ ⑦ Pl(x) ✺ ❤✐✛ ✜ ❀❥❲⑥✢✺➚✣➢✢◆❍✤✥❂ ✶✰✏✑✰ m ❥✦❂❯➶➹❱❲ Z 1 −1 P m l (x)Pm k (x)dx = (−) m Z 1 −1 d m dxm 1 − x 2 m d mPk(x) dxm Pl(x)dx. ✧★➢❘✩ ✴ ✺✚✑ ❽ ❵ ❄ l ❥ Legendre →➣❘✽✪ ❀✘ →➣❘ d m dxm 1 − x 2 m d mPk(x) dxm ✺✫✑✢✬✭➈ ❹ ❏ ✘ →➣❘✺❥ ❵■ k − m+ 2m− m = k ✢ ➜ ② k < l ❂ ✉ ↔❯❡❱✲✳ Legendre ❽ ❵✺ ❈➴✻✢ ➻✮✯ x = cos θ ❂ ➐◆❍❱❲✲✳ Legendre ❽ ❵ ❈➴✻✺✪ ❀✰✱✲◗❘❂↔ Z π 0 P m l (cos θ)Pm k (cos θ) sin θdθ = 0, k 6= l. ✧★❂ ❏✳ ❹➝➑ ❈➴✴✵ sin θ ✢ ✾✿✶✷✕⑨✺✸❞ ❂ ➐➓➈❱✲✳ Legendre ❽ ❵✺ ✶✴✢❏ ➊ ➇✶❍➢❡ ▲❣ ✵ ✺✹❘ ⑦
§21.1连带 Legendre函数 取k=l即可.于是 Pr( r)P(a)dr=()m/1a(-r2)“-dm」P)dx 出现在等式右端的被积函数是l次 Legendre多项式和另一个l次多项式 (1-22)m d Pi(a) 1 dm m d+m a 的乘积.由18讲第4节的讨论可知,对积分值的唯一贡献就只来自这个多项式的最高幂次项.容 易求出这个最高幂次项的系数是 2)!(+m) 2l!(l-m)!l! 所以,就得到 P(r)P(a)d.c (20)!(+m!/rpi(z)dr 2(2(-m)/1 (+m)!2 (-m)!2+1 或者进一步作变换x=cos6 22￥(cm0PmD≈(+m》2 从原则上说,连带 Legendre函数的许多性质都可由 Legendre多项式的相应性质得到 从略
Wu Chong-shi §21.1 ♥♦ Legendre ♣q r 4 s ➧ k = l ↔ ◆✢② ❄❂ Z 1 −1 P m l (x)Pm l (x)dx = (−) m Z 1 −1 d m dxm 1 − x 2 m d mPl(x) dxm Pl(x)dx. ❹➝✶✺❘✩✻✺✚✑ ❽ ❵ ❄ l ❥ Legendre →➣❘✽✪ ❀✘ l ❥ →➣❘ d m dxm 1 − x 2 m d mPl(x) dxm = 1 2 l l! d m dxm 1 − x 2 m d l+m dx l+m x 2 − 1 l ✺✫✑✢ ➜ 18 ✼✽ 4 ✾ ✺➤➥◆✿ ❂➄ ✑✰ ❼ ✺ ➒❀❀❁❯➊❂ ❃ ❏ ✘ →➣❘✺❄❅❆❥ ➣✢✬ ✭➈ ❹ ❏ ✘ ❄❅❆❥ ➣✺❇❵ ❄ (−) m 1 2 l l! (2l)! (l − m)! (l + m)! l! , ●❍❂❯❱❲ Z 1 −1 P m l (x)Pm l (x)dx = (2l)! 2 l(l!)2 (l + m)! (l − m)! Z 1 −1 x lPl(x)dx = (l + m)! (l − m)! 2 2l + 1 , ❈❉❊❀❋➻✮✯ x = cos θ ❂ Z 1 −1 P m l (cos θ)Pm l (cos θ) sin θdθ = (l + m)! (l − m)! 2 2l + 1 . ô●❍ç Þ❂✑✒ Legendre ìä✛■ ☎ü❏❑ò ▲ Legendre ☎✆✝✛ ð ÷ü❏▼◆✢ ô❖✢
321.2球面调和函数 现在回到 Laplace方程在球坐标易被的分离变量.为了确定起见粞妨先讨论球内 Laplace 方程的第一类边值问题. 在球坐系下来定得问题 10 r2 ar( ar 0. ule=0有界来=有界 dl=000l=2x u=0有界来 重复18讲第3节等步骤来令a(r,6,)=B()S(,)来将上面等方程齐次边界条件分离变量来得 dP2(|-AR()=0,第 mm2121+-1 sin0+4S(,)=0 Slb=0有界来S=有界 u,=0有界 as 质系贡个本征值问题卷偏微分方程的本征值问题 了求出本征值入相应等本征函数来到则再令S(6,)=6(0)()来进贡步分离变量来就有 1 d de(6) sin e de e(0)有界来 67次a)=0.第+A④=0 (0)=重(2丌),更(0)=更(27) 质两个常微分方程等本征值问题自已经讨论过来分别见上贡节第18讲第1节.质献来对于偏微 分方程等本征值问题来都来本征值就 +1),l=0.,1,2,3, 高对应于贡个本征值M来有24+1个本征函数 SIml(0,o)= Pl(cos 0)cos mo, m=0, 1, 2,.. 1 质些本征函数来统称许球面调和函数来或球面谐函数 本征值问题等简并度。2+1来大于常微分方程本征值问题原许到等简并度2 关于R等常微分方程来在第20讲第3节中已经讨论过,它在有界条件下等得R(r)=r2 质献来偏微分方程定得问题等特得就 ulmi(r,0,)=rP(cos e)cos mo,I=0,1,2,.,m=0,1,2,.,I
Wu Chong-shi ➫➭➯➲➳ ➵ ♣ q (➸) r 5 s §21.2 P◗❘❙☛☞ ❚✕ ❯◆ Laplace ✓✔✕❱❲ý ✭✚✛❳ ❨❩❬✢❭ ❪❫ à❴❵❂❛❜❝✎✏❱ ❞Laplace ✓✔✛ ❡ ✞❢❣ ❤✐✢ ✶❥❦❋❇⑧ ❂❭▼ ➼ ① ❄ 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂u ∂θ + 1 r 2sin2 θ ∂ 2u ∂φ2 = 0, u θ=0 ⑩❶❂ u θ=π ⑩❶, u φ=0 = u φ=2π , ∂u ∂φ φ=0 = ∂u ∂φ φ=2π , u r=0 ⑩❶❂ u r=a = f(θ, φ). ✵❧ 18 ✼✽ 3 ✾ ✺ ❋♠❂ ♥ u(r, θ, φ) = R(r)S(θ, φ) ❂ ➨➢⑨✺ ✴✵✽♦ ❥♣ ❶❷❸✰q ✮r❂ ❱ d dr r 2 dR(r) dr − λR(r) = 0, u r=0 ⑩❶, ✽ 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂S(θ, φ) ∂θ + 1 sin2 θ ∂ 2S(θ, φ) ∂φ2 + λS(θ, φ) = 0, S θ=0 ⑩❶❂ S θ=π ⑩❶, S φ=0 = S φ=2π , ∂S ∂φ φ=0 = ∂S ∂φ φ=2π . ❏❇ ❄❀✘❺❻❼➼① ❂ st✉✈✇❮①②③④⑤ ✢ ■➑➈ ❹❺❻❼ λ ✽⑥➶✺ ❺❻❽❵ ❂ ◆❍✈♥ S(θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) ❂ ❊ ❀❋ ✰q ✮r❂❯ ⑩ 1 sin θ d dθ sin θ dΘ(θ) dθ + λ − µ sin2 θ Θ(θ) = 0, Θ(0) ⑩❶❂ Θ(π) ⑩❶ ✽ Φ 00 + µΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ 0 (0) = Φ 0 (2π). ❏⑦ ✘ ➦ ❤ ✰ ✴✵✺ ❺❻❼➼① ❃ ⑧⑨➤➥❣ ❂ ✰⑩❶➢ ❀✾ ✽ ✽ 18 ✼✽ 1 ✾✢❏ ❁❂➄ ②❷ ❤ ✰ ✴✵✺ ❺❻❼➼① ❂ ❑ ❂❺❻❼❯❄ λl = l(l + 1), l = 0, 1, 2, 3, · · · , ❅ ➄ ➶② ❀✘❺❻❼ λl ❂ ⑩ 2l + 1 ✘❺❻❽❵ Slm1(θ, φ) = Pm l (cos θ) cos mφ, m = 0, 1, 2, · · · , l, Slm2(θ, φ) = Pm l (cos θ) sin mφ, m = 1, 2, · · · , l. ❏❸ ❺❻❽❵ ❂❹ ➺■ ❺❻❼❽ÐÑ ❂ ❈ ❺❻❾ÐÑ ✢ ❺❻❼➼①✺❿✎➀❄ 2l + 1 ❂➁ ②➦ ❤ ✰ ✴✵❺❻❼➼①●➂◆✺❿✎➀ 2 ✢ ➃② R ✺➦ ❤ ✰ ✴✵❂✶ ✽ 20 ✼✽ 3 ✾ ⑦ ⑧⑨➤➥❣✢ ➅ ✶⑩❶❷❸⑧✺▼❄ Rl(r) = r l ✢ ❏ ❁❂❷ ❤ ✰ ✴✵❭▼ ➼ ①✺➄▼ ❯❄ ulm1(r, θ, φ) = r lP m l (cos θ) cos mφ, l = 0, 1, 2, · · · , m = 0, 1, 2, · · · , l