第二十二讲柱函数 将 Helmholtz方程在柱坐标糸下分禹变量时,曾经得到常微分方程 1d「dR(r) 如果k2-A≠0,作变换x=VR2-xr,y(x)=R(r),则方程变为(u阶) Bessel方程 1 d r dr =]+(1-]()=0 其中p=u2 笫九讲第2节中已经求出了 Bessel方程在工=0点的正则解 下面扼要地罗列一下已经得到的结果 822.1 Bessel函数和 Neumann函数 Bessel方程有两个奇点:x=0和x=∞;x=0是正则奇点,x=∞是非正则奇点 在正则奇点x=0处,指标p=土v 当v≠整数时, Bessel方程的两个(线性无关)正则解是 x\2k±D J士(x) T(k±+1) 如果v=整数n,则Jn(x)和J-n(x)线性相关 这时, Bessel方程的第一解仍是Jn(x),第二解则可取为 Nn(z)= lim COS UT Jv(r)-J-v(a 1(n-k-1)! (k+mm+k+1)+中(k+ 并且约定,当n=0时,需去掉表达式中第二项的有限和
Wu Chong-shi ✁✂✁✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ Helmholtz ✠✡☛☞✌✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✑✠✡ 1 r d dr r dR(r) dr + h k 2 − λ − µ r 2 i R(r) = 0. ✢✣ k 2 − λ 6= 0 ✖✤✓✥ x = √ k 2 − λr, y(x) = R(r) ✖✦✠✡✓✧ (ν ★)Bessel ✠✡ 1 x d dx x dy(x) dx + 1 − ν 2 x 2 y(x) = 0, ✩ ✪ µ = ν 2 ✫ ✬✭✮ ✬ 2 ✯ ✪ ✰✘✱ ✲ ✳ Bessel ✠✡☛ x = 0 ✴✵✶✦✷✫ ✏ ✸✹✺✻ ✼✽✾✏ ✰ ✘✙✚✵✿✣✫ §22.1 Bessel ❀❁❂ Neumann ❀❁ Bessel ❃❄❅❆❇❈❉❊ x = 0 ❋ x = ∞ ● x = 0 ❍■❏❈❉✖ x = ∞ ❍❑■❏❈❉✫ ▲ ■❏❈❉ x = 0 ▼✖◆❖ ρ = ±ν ✫ P ν 6= ◗❘ ❙✖ Bessel ❃❄❚❆❇ (❯❱❲❳) ■❏❨❍ J±ν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k ± ν + 1) x 2 2k±ν . ❩❬ ν = ◗❘ n ✖❏ Jn(x) ❋ J−n(x) ❯❱❭❳✖ J−n(x) = (−) n Jn(x), ❪ ❙✖ Bessel ❃❄❚❫❴❨❵❍ Jn(x) ✖❫❛❨❏❜❝❞ Nn(x) = limν→n cos νπ Jν(x) − J−ν(x) sin νπ = 2 π Jn(x) ln x 2 − 1 π nX−1 k=0 (n − k − 1)! k! x 2 2k−n − 1 π X∞ k=0 (−) k k! (k + n)! ψ(n + k + 1)+ψ(k + 1) x 2 2k+n , ❡❢❣❤✖ P n = 0 ❙✖✐❥❦❧♠♥ ♦❫❛♣❚❅q❋✫
图2.1中给出了自变量为实数时前几个Jn(x)的图形 !.10V J4(2) Js(r) 81V120 前几个Nn(x)的图形见图22.2 no(a) N(e) N2(c) 图222 Neumann函数 级数表达式是 Bessel函数的基本表达式,由此可以推出 Bessel函数的一些其他性质,例如递 推关系(见下一节).应用 Bessel函数的级数表达式,还可以计算某些类型的积分,例如被积函数 为指数函数与 Bessel函数的乘积的积分
Wu Chong-shi §22.1 Bessel rst Neumann rs ✉ 2 ✈ ✇ 22.1 ♦①②③ ④ ⑤⑥❞⑦❘❙⑧⑨❇ Jn(x) ❚ ✇⑩✫ ❶ 22.1 Bessel ❷❸ ⑧⑨❇ Nn(x) ❚ ✇⑩❹✇ 22.2 ✫ ❶ 22.2 Neumann ❷❸ ❺ ❘❧♠♥❍ Bessel ❻❘❚❼❽❧♠♥✖❾❿❜➀➁② Bessel ❻❘❚❴➂➃➄❱➅✖➆❩➇ ➁❳➈ (❹➉❴➊) ✫➋➌ Bessel ❻❘❚❺ ❘❧♠♥✖➍❜➀➎➏➐➂➑➒❚➓➔✖➆❩ →➣↔↕ ➙➛↕↔↕➜ Bessel ↔↕➝➞➣➝➣➟ ✫
例221计算积分/e-J)dr,ea>0 解代入 Bessel函数的级数表示,并逐项积分 (k)2(2 -ar 26 dr k=0 3 k! 2(a k=0 这种做法的难点是级数求和,求和时还往往要有一定的限制条件.例如在上面求和时就要求|/a< 1.但就本题而言,容易证明,原来的积分在Rea>0的任意闭区域中一致收敛,因而在Rea>0 的任意区域内解析;而积分出的结果也在同一区域内解析.根据解析延拓的原理,就可以去掉这 个限制条件
Wu Chong-shi ➠➡➢➡➤ ➥ r s (➦) ✉ 3 ✈ ➧ 22.1 ➎➏➓➔ Z ∞ 0 e −axJ0(bx)dx, Re a > 0. ➨ ➩➫ Bessel ❻❘❚❺ ❘❧➭✖❡➯♣➓➔✫ Z ∞ 0 e −axJ0(bx)dx = Z ∞ 0 e −axX∞ k=0 (−) k (k!)2 bx 2 2k dx = X∞ k=0 (−) k (k!)2 b 2 2k Z ∞ 0 e −axx 2kdx = X∞ k=0 (−) k (k!)2 b 2 2k (2k)! a 2k+1 = 1 a X∞ k=0 1 k! − 1 2 − 3 2 − 5 2 · · · − 2k − 1 2 b a 2k = 1 a " 1 + b a 2 #−1/2 = 1 √ a 2 + b 2 . ❪➲➳➵❚➸❉❍❺ ❘➺❋✖➺❋❙➍➻➻➼❅❴❤ ❚q➽➾➚✫➆ ❩▲➪➶➺❋❙➹➼➺ |b/a| < 1 ✫➘ ➹❽➴➷➬✖➮➱✃ ❐✖ ❒❮❚➓➔▲ Re a > 0 ❚❰ÏÐÑÒ ♦❴ÓÔÕ✖Ö ➷ ▲ Re a > 0 ❚❰ÏÑÒ ×❨Ø●➷➓➔②❚Ù❬Ú▲Û❴ÑÒ ×❨Ø✫ÜÝ❨ØÞß❚❒à✖➹❜➀❥❦❪ ❇q➽➾➚✫
4 8222 Bessel函数的递推关系 Bessel函数J+p(x)的基本递推关系是 dr d 证先证明 dr lr Jv(z)=x Ju-1(r) 为此,直接从 Bessel函数的级数表达式 Jv(a) k!r(k+v+1) 出发.由于级数在全平面收敛,所以可以逐项微商 d k!r(k++1)2 !I(k+) 同样, d [z-J(z)] k!r(k++1) 在这两个递推关系中消去J(x)或J(x),又可以得到两个新的递推关系 J-1(x)-J+1(x)=2Jy(x) 从这些递推关系可以看出,任意整数阶的 Bessel函数,总可以用J(x)和J1(x)表示出来 Jv(a) 中令v=0,还能得到 J(x)=-J1(x) 根据N(x)的定义 Jv(a)-J-v() N sIn v7 及J(x)的递推关系,可以导出N(x)的递推关系,其形式和J(x)完全相同 dr lNv()=Ny-1(a)
Wu Chong-shi §22.2 Bessel rsáâãäå ✉ 4 ✈ §22.2 Bessel ❀❁æçèéê Bessel ❻❘ J±ν(x) ❚❼❽➇ ➁❳➈❍ d dx [x ν Jν(x)] = x ν Jν−1(x), d dx x −ν Jν(x) = −x −ν Jν+1(x). ë ì✃ ❐ d dx [x ν Jν(x)] = x ν Jν−1(x). ❞❿✖íîï Bessel ❻❘❚❺ ❘❧♠♥ Jν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2 2k+ν ②ð✫❾ñ❺ ❘ ▲òó➶ÔÕ✖ô➀❜➀➯ ♣õö✫ d dx [x ν Jν(x)] = d dx X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2k+2ν 2 2k+ν = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν) x 2k+2ν−1 2 2k+ν−1 = x ν Jν−1(x). Û÷✖ d dx x −ν Jν(x) = d dx X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2k 2 2k+ν = X∞ k=0 (−) k+1 k! Γ (k + ν + 2) x 2k+1 2 2k+ν+1 = −x −ν Jν+1(x). () ▲❪ ❆❇➇ ➁❳➈ ♦ø❥ Jν(x) ù J 0 ν (x) ✖ú❜➀ûü❆❇ý❚➇ ➁❳➈❊ Jν−1(x) − Jν+1(x) = 2J0 ν (x), Jν−1(x) + Jν+1(x) = 2ν x Jν(x). ï ❪ ➂ ➇ ➁❳➈❜➀þ②✖❰Ï◗❘ÿ❚ Bessel ❻❘✖❜➀➌ J0(x) ❋ J1(x) ❧➭②❮✫ ✁✂❍✖▲ d dx x −ν Jν(x) = −x −ν Jν+1(x) ♦✄ ν = 0 ✖➍☎ûü J 0 0 (x) = −J1(x). ÜÝ Nν (x) ❚ ❤✆ Nν (x) = cos νπ Jν(x) − J−ν(x) ✝ sin νπ Jν(x) ❚ ➇ ➁❳➈✖❜➀✞② Nν (x) ❚ ➇ ➁❳➈✖➃⑩ ♥❋ Jν(x) ✟ ò ❭ Û✫ d dx [x νNν (x)] = x νNν−1(x),
d EIN(a) 满足递推关系 C(x)=x"C-1(x) d“Cn()]=--C+(x) 的函数{Cn(x)}统称为柱函数.可以证明:柱函数一定是 Bessel方程的解 Bessel函数是第一类柱函数, Neuman函数是第二类柱函数 Bessel函数递推关系的应用之一,是计算含Bese函数的积分.主要用于被积函数为幂函数 与 Bessel函数的乘积的情形 例22计算积分/(-2)J)d,其中J(-0 解利用递推关系 dr lr Jv(z)]=r Jv-1(r) 分部积分,有 (1-x2)Jm)xdx=/(1-2)1dm)d x2) raj J2() 再令递推关系 J-1(x)++()=3 中 Jo(x)+J2(x)==J1(x) 并’虑到J(m)=0,就有 J2(4)=二J1() 代入即得 (1-x2)J(x)xdx=2J1()
Wu Chong-shi ➠➡➢➡➤ ➥ r s (➦) ✉ 5 ✈ d dx x −νNν(x) = −x −νNν+1(x). ✠✡➇ ➁❳➈ d dx [x νCν(x)] = x νCν−1(x), d dx x −νCν (x) = −x −νCν+1(x) ❚❻❘ {Cν(x)} ☛☞❞✌❻❘✫❜➀✃ ❐❊✌❻❘❴❤ ❍ Bessel ❃❄❚❨✫ Bessel ❻❘❍❫❴➑✌❻❘✖ Neumann ❻❘❍❫❛➑✌❻❘✫ Bessel ❻❘➇ ➁❳➈❚➋➌✍❴✖❍➎➏✎ Bessel ❻❘❚➓➔✫✏➼➌ñ →➣↔↕➙✑↔↕ ➜ Bessel ↔↕➝➞➣ ❚✒ ⑩✫ ➧ 22.2 ➎➏➓➔ Z 1 0 1−x 2 J0(µx) x dx ✖➃ ♦ J0(µ)= 0 ✫ ➨ ✓➌➇ ➁❳➈ d dx [x ν Jν(x)] = x ν Jν−1(x). ➔✔➓➔✖❅ Z 1 0 1 − x 2 J0(µx) x dx = Z 1 0 1 − x 2 1 µ d dx [xJ1(µx)] dx = 1 − x 2 1 µ [xJ1(µx)] 1 0 + 2 µ Z 1 0 x 2 J1(µx)dx = 2 µ2 x 2 J2(µx) 1 0 = 2 µ2 J2(µ). ✕ ✄ ➇ ➁❳➈ Jν−1(x) + Jν+1(x) = 2ν x Jν(x) ♦ ν = 1 ✖ J0(x) + J2(x) = 2 x J1(x), ❡✖✗ü J0(µ) = 0 ✖➹❅ J2(µ) = 2 µ J1(µ). ➩➫✘ û Z 1 0 1 − x 2 J0(µx) x dx = 4 µ3 J1(µ).