第二十五讲 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 §25.1自伴算符的本征值问题 定义251设L和M为定义在一定函数空间内的(微分)算符,若对于该函数空间内的任 意两个函数u和t,恒有 (u, Lu)=(Mu, u)Ep / u'Ludx=/(Mu)"udx, 则称M是L的伴算符 例 若L、d ,于是 u*dr=u*u 所以,当u和v都满足边界条件 y(a=y(b) 时,z的伴算符是、 定义25.1中的算符M和L是互为伴算符,因为如果M是L的伴算符,则对于任 意函数u和v,也有 u*Mudr =/(Mu)udr u’Ludx (Lu"udr 所以,L也是M的伴算符. 例252设L ,容易证明 'n'-(u)u+ udr 所以,当函数u和υ都满足一、二、三类边界条件 ay(a)+B1y/(a)=0,a2(b)+B2y(b)=0 (其中a2+112≠0,|a22+1B22≠0)或周期条件 y(a)=y(b), y(a)=y(b) 时 的伴算符就是它自身
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ Sturm-Liouville ✆✝✞✟✠✡☛☞✌ §25.1 ✍✎✏✑✒✓✔✕✖✗ ✘✙ 25.1 ✚ L ✛ M ✜✢✣✤✥✢✦✧★✩ ✪✫ (✬✭) ✮✯✰✱✲✳✴✦✧★✩ ✪✫✵ ✶✷✸✦✧ u ✛ v ✰✹✺ (v, Lu) = (Mv, u) ✻ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Mv) ∗udx, ✼✽ M ✾ L ✫ ✿❀❁ ❂ ❃ 25.1 ✱ L = d dx ✰✳✾ Z b a v ∗ du dx dx = v ∗u b a − Z b a dv ∗ dx udx. ❄❅✰❆ u ✛ v ❇❈❉❊❋●❍ y(a) = y(b) ■ ✰ d dx ✫❏✮✯✾ − d dx ❂ ✢✣ 25.1 ❑✫✮✯ M ✛ L ✾▲✜❏✮✯✰▼✜◆❖ M ✾ L ✫❏✮✯✰✼ ✲✳✵ ✶ ✦✧ u ✛ v ✰P✺ Z b a v ∗Mudx = "Z b a (Mu) ∗ vdx #∗ = "Z b a u ∗Lvdx #∗ = Z b a (Lv) ∗udx, ❄❅✰ L P✾ M ✫❏✮✯❂ ❃ 25.2 ✚ L = d 2 dx 2 ✰◗❘❙ ❚ Z b a v ∗ d 2u dx 2 dx = h v ∗u 0 − (v ∗ ) 0u ib a + Z b a d 2v dx 2 ∗ udx. ❄❅✰❆✦✧ u ✛ v ❇❈❉✥❯❱❯❲❳❊❋●❍ α1y(a) + β1y 0 (a) = 0, α2y(b) + β2y 0 (b) = 0 (❨ ❑|α1| 2 + |β1| 2 6= 0, |α2| 2 + |β2| 2 6= 0) ❩❬❭●❍ y(a) = y(b), y0 (a) = y 0 (b) ■ ✰ d 2 dx 2 ✫❏✮✯❪✾❫ ❴ ❵ ❂
§25.1自伴算符的本征值问题 定义25.2若算符L的伴算符就是它自身,即对于该函数空间内的任意两个函数u和 恒有 (,DLu)=(L,u)即o°Ldx=/(Ln)adx 则称L是自伴算符 例253在和例4完全相同的条件下,算符i就是自伴算符 (=)u=-==(=)吨 算符的自伴性,总是和一定的函数空间联系在一起的.通常,我们总是要求 函数定义在给定的区间上 ·函数具有足够的连续性(例如,对于二阶微分算符,就要求函数的二阶导数连续,至 少分段连续;如果是无界区间,则要求函数平方可积) 因此,实际上总是限于 Hilbert空间.并且,还要求 函数满足一定的边界条件,即总是局限在 Hilbert空间中的一定子空间内 绝不能脱离边界条件的约東来讨论算符的自伴性 一个算符,相对于某一类函数是自伴的,但对于另一类函数,就可能不是自伴的 例254设L 而将边界条件取成更一般的形式 y(b)=ay(a),a为(复)常数 于是 drude i(aa*-1u(a)u(a)+ u dr 所以只有边界条件中的a满足aa*=1时,算符i才是自伴的 定义25.3设L为自伴算符,则方程 Ly(a)=Ay( 称为自伴算符的本征值问题 这里没有明确写出齐次边界条件,是因为它已经隐含在自伴算符L的定义中了
Wu Chong-shi §25.1 ❛ ❜❝❞❡❢❣❤✐❥ ❦ 2 ❧ ✘✙ 25.2 ✱✮✯ L ✫❏✮✯❪✾❫ ❴ ❵ ✰✻✲✳✴✦✧★✩ ✪✫✵✶✷✸✦✧ u ✛ v ✰ ✹✺ (v, Lu) = (Lv, u) ✻ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Lv) ∗udx, ✼✽ L ✾ ♠✿❀❁ ❂ ❃ 25.3 ✤✛♥ 4 ♦♣qr✫●❍s✰✮✯ i d dx ❪✾ ❴❏✮✯❂ Z b a v ∗ i du dx dx = −i Z b a dv ∗ dx udx = Z b a i dv dx ∗ udx. ✮✯✫ ❴❏t✰✉✾✛✥✢✫✦✧★✩✈✇✤✥①✫❂②③✰④⑤✉✾⑥⑦ • ✦✧✢✣✤⑧✢✫⑨✩⑩✰ • ✦✧❶✺❉❷✫❸❹t (♥◆✰✲✳❱❺✬✭✮✯✰❪⑥⑦✦✧✫❱❺❻✧❸❹✰❼ ❽ ✭❾❸❹❿◆❖✾➀❋⑨✩✰✼ ⑥⑦✦✧➁➂➃➄) ✰ ▼➅✰➆➇⑩✉✾➈✳ Hilbert ★✩❂➉➊✰➋⑥⑦ • ✦✧❈❉✥✢✫❊❋●❍✰✻✉✾➌➈✤ Hilbert ★✩ ❑✫✥✢➍★✩ ✪❂ ➎➏➐➑➒❊❋●❍✫➓➔→➣↔✮✯✫ ❴❏t❂ ✥ ✸ ✮✯✰q✲✳↕✥❳✦✧✾ ❴❏✫✰➙✲✳➛✥❳✦✧✰❪➃➐➏✾ ❴❏✫❂ ❃ 25.4 ✚ L = i d dx ✰➜➝❊❋●❍➞➟➠✥➡✫➢➤ y(b) = αy(a), α✜ (➥) ③✧. ✳✾ Z b a v ∗ i du dx dx = iv ∗u b a − i Z b a dv ∗ dx u dx = i(αα∗ − 1)u(a)v ∗ (a) + Z b a i dv dx ∗ u dx. ❄❅➦✺❊❋●❍ ❑✫ α ❈❉ αα∗ = 1 ■ ✰✮✯ i d dx ➧✾ ❴❏✫❂ ✘✙ 25.3 ✚ L ✜ ❴❏✮✯✰✼ ➂➨ Ly(x) = λy(x) ✽ ✜ ❴❏✮✯✫➩➫➭➯➲❂ ➳➵➸✺ ❚➺➻➼➽➾❊❋●❍✰✾▼✜❫ ➚➪➶➹✤ ❴❏✮✯ L ✫✢✣ ❑➘❂
五讲 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 第3页 自伴算符的本征值问题具有下列几个重要的基本性质 ·性质1自伴算符的本征值必然存在.(不证) ·性质2自伴算符的本征值必为实数 证因为 Ly=入 取复共轭 (Ly) 由于L是自伴算符,所以 ly'Ly-(Ly)y]dr=(A-x)/yy'dr=0 又因为/wydx≠0,所以 即证得本征值入为实数.口 ·性质3自伴算符的本征函数具有正交性,即对应不同本征值的本征函数一定正交 证设A和入是不相等的两个本征值,对应的本征函数为v和v =Ai,L=与 注意到本征值A,为实数,于是 Ly Lyj-(Lyi)vi]dz=(Aj-Ai)/yiyjdr 因为A≠与,所以 y (a)yi(=)dx=0 这样就证明了本征函数的正交性口 由于本征函数是齐次微分方程在齐次边界条件下的解,所以将本征函数乘以一个非零常数因 子仍然是本征函数.我们就可以适当选择这个常数因子,使得对于任意一个本征值λ,都有 yi(r)yi (r)dr=1 这样得到的就是一个正交归一的函数组 y(a)yi(a)dr= dij
Wu Chong-shi ➴➷➬➮➱ Sturm-Liouville ✃❐❒❡❢❣❤✐❥ ❦ 3 ❧ ❴❏✮✯✫➩➫➭➯➲❶✺s❮❰✸Ï⑥✫Ð➩tÑÒ • ÓÔ 1 ❴❏✮✯✫➩➫➭ÕÖ×✤❂(➏ ❙) • ÓÔ 2 ❴❏✮✯✫➩➫➭Õ✜➆✧❂ Ø ▼✜ Ly = λy, ➞➥ÙÚ (Ly) ∗ = λ ∗ y ∗ . Û ✳ L ✾ ❴❏✮✯✰❄❅ Z b a [y ∗Ly − (Ly) ∗ y] dx = (λ − λ ∗ ) Z b a yy∗dx = 0. Ü ▼✜ Z b a yy∗ dx 6= 0 ✰ ❄❅ λ = λ ∗ , ✻❙Ý➩➫➭ λ ✜➆✧❂ • ÓÔ 3 ❴❏✮✯✫➩➫✦✧❶✺Þßt✰✻✲à➏ r➩➫➭✫➩➫✦✧✥✢Þß❂ Ø ✚ λi ✛ λj ✾ ➏ qá✫✷✸➩➫➭✰✲à✫➩➫✦✧✜ yi ✛ yj ✰ Lyi = λiyi , Lyj = λjyj. â✶ã➩➫➭ λi , λj ✜➆✧✰✳✾ Z b a [y ∗ i Lyj − (Lyi) ∗ yj ] dx = (λj − λi) Z b a y ∗ i yjdx. ▼✜ λi 6= λj ✰ ❄❅ Z b a y ∗ i (x)yj (x)dx = 0. ➳ä❪❙ ❚➘➩➫✦✧✫Þßt❂ Û ✳➩➫✦✧✾➽➾✬✭➂➨✤➽➾❊❋●❍s✫å✰❄❅➝➩➫✦✧æ❅ ✥ ✸çè③✧▼ ➍éÖ✾➩➫✦✧❂④⑤❪➃❅ê❆ëì➳✸③✧▼➍✰íÝ✲✳✵✶ ✥ ✸ ➩➫➭ λi ✰❇✺ Z b a y ∗ i (x)yi(x)dx = 1. ➳äÝ ã ✫❪✾✥✸ îïðñòóôõ ❂ Z b a y ∗ i (x)yj (x)dx = δij .
§25.1自伴算符的本征值问题 ·性质4自伴算符的本征函数(的全体)构成一个完备函数组,即任意一个在区间[,列中有 连续二阶导数、且满足和自伴算符L相同的边界条件的函数f(x),均可按本征函数{yn(x)} 展开为绝对而且一致收敛的级数 f(r) Cnn(r) 其中 f(a)*(a)dr yn (a)ym(r)dx 特别是,如果本征函数组是归一化的,则上式中的分母为1,展开的形式更加简单.(不证) 同样,正交归一的本征函数组的完备性也还可以表示成 Un(a)ym(a)=d(a-r) ·由上面的性质3和4可以看到,只要将本征函数适当归一化,则本征函数的全体就构成了 个完备的正交归一函数集.因此,上一节中有关完备的正交归一函数集的讨论均可适 ·这里暂时忽略掉一种可能性,即对应于一个本征值可能有不止一个(线性无关的)本征函数 因而可能并不彼此正交.这种情形将在25.3节讨论·但即使如此,总还可以采用 Schmidt的 正交化步骤(见书18.1节使之正交化,因而仍然可以得到一个完备的正交归一函数集 ·事实上,上面的展开条件还可以放宽为:对于任意在[a,b中平方可积的函数,(#)式在平均 收敛 的意义下仍然成立 严格说来,上面关于自伴算符本征值的存在性和本征函数的完备性的讨论,本来还 应当区分奇异的(区间无界或半无界;或是在有界区间上微分方程有奇点)和非奇异的 (区间有界,且微分方程在区间上无奇点本征值问题这两种情形.但由于并没有给出有 关的证明,所以也就未曾区分这两类本征值问题.而且,为了叙述的方便,在有关的表 述中都采用了有界区间的形式
Wu Chong-shi §25.1 ❛ ❜❝❞❡❢❣❤✐❥ ❦ 4 ❧ • ÓÔ 4 ❴❏✮✯✫➩➫✦✧ (✫♣ö) ÷➟✥✸ ♦ø✦✧ù✰✻✵✶ ✥ ✸ ✤⑨✩ [a, b] ❑✺ ❸❹❱❺❻✧❯➊❈❉✛ ❴❏✮✯ L qr✫❊❋●❍✫✦✧ f(x) ✰ ú ➃û➩➫✦✧ {yn(x)} üý✜ ➎ ✲➜➊✥þÿ✫✁✧ f(x) = X∞ n=1 cnyn(x), (#) ❨ ❑ cn = Z b a f(x)y ∗ n(x)dx Z b a yn(x)y ∗ n(x)dx . ✂✄✾✰◆❖➩➫✦✧ù✾☎✥✆✫✰✼ ⑩➤ ❑✫✭✝✜ 1 ✰ üý✫➢➤➠✞✟✠❂(➏ ❙) r ä ✰Þß☎✥✫➩➫✦✧ù✫♦øtP➋➃❅✡☛➟ X∞ n=1 yn(x)y ∗ n(x 0 ) = δ(x − x 0 ). • Û ⑩☞✫tÑ 3 ✛ 4 ➃ ❅✌ã ✰ ➦ ⑥➝➩➫✦✧ê ❆☎✥✆✰ ✼ ➩➫✦✧✫♣ö❪÷➟➘✥ ✸ ♦ø✫Þß☎✥✦✧✍❂▼➅✰⑩✥✎ ❑✺✏♦ø✫Þß☎✥✦✧✍✫➣↔ú ➃ ê✑ ❂ • ➳➵✒■✓✔✕✥✖➃ ➐ t✰✻✲à✳✥✸ ➩➫➭➃➐ ✺ ➏✗ ✥ ✸ (✘t➀✏✫) ➩➫✦✧✰ ▼➜➃➐ ➉ ➏✙ ➅Þß❂➳ ✖✚➢➝✤ 25.3 ✎➣↔❂➙✻í◆➅✰✉➋➃❅✛✑ Schmidt ✫ Þß✆✜✢ (✣✤ 18.1 ✎) í✥Þß✆✰▼➜éÖ➃❅ Ý ã ✥ ✸ ♦ø✫Þß☎✥✦✧✍❂ • ✦➆⑩✰⑩☞✫ üý●❍➋➃❅✧★✜Ò✲✳✵✶ ✤ [a, b] ❑➁➂➃➄✫✦✧✰ (#) ➤✤➁ú ÿ lim N→∞ Z b a f(x) − X N n=1 cnyn(x) 2 dx = 0 ✫ ✶ ✣séÖ➟✩❂ ✪✫✬→✰⑩☞✏✳ ❴❏✮✯➩➫➭✫×✤t✛➩➫✦✧✫♦øt✫➣↔✰➩→➋ à❆⑨✭✭✮✫ (⑨✩➀❋❩✯➀❋❿❩✾✤✺❋⑨✩⑩✬✭➂➨✺✭✰) ✛ ç ✭✮✫ (⑨✩✺❋✰➊✬✭➂➨✤⑨✩⑩➀✭✰) ➩➫➭➯➲➳✷✖✚➢❂➙ Û ✳➉➸ ✺⑧➼✺ ✏✫❙ ❚✰❄❅P❪✱ ✲⑨✭➳✷❳➩➫➭➯➲❂➜➊✰✜➘✳✴✫➂✵✰✤✺✏✫ ✡ ✴ ❑❇✛✑➘✺❋⑨✩✫➢➤❂
Sturm- Liouville型方程的本征值问题 第5页 825.2 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 在前面几章中,我们讨论过几个常微分方程的本征值问题.涉及的微分方程有 X+AX=0 0; 1 d 它们可以归纳为下面的一般形式 dx p(z)s+[Ap(a)-q(=)ly=0 这种类型的方程称为 Sturm- Liouville型(简称S-L型)方程 ·不妨把SL型方程中的函数p(x),q(x)和p(x)限制为都是实函数,而且都满足必要的连续性 要求 ·p(x),称为权重函数 ·当权重函数p(x)=常数时,可以取为1 ·不恒为常数的权重函数,可以来源于正交曲面坐标系的使用(这时可以从 Laplace算符的具体 表达式中追寻到权重函数的踪迹;从根本上说,它反映了坐标长度单位是该变量的函数.可 以称之为来源于空间的几何描述的不均匀性),也可能来源于问题所涉及的物理性质的不均 匀性(例如,密度分布的不均匀).因此,就我们所关心的物理问题而言,不妨假设p(x)≥0, 而且,应当不恒为0 为了书写的紧凑,还可以引进算符 ≡ q(a) 的记号.这样,S-L型方程就可以改写成 Ly(r)= Ap(ar)y(a) S-L型方程附加上适当的边界条件,就构成S-L型方程的本征值问题.A称为本征值.对于 某一个本征值λ,满足SL方程及相应的边界条件的非零解就是本征函数 从微分方程来看,由于p(x)的出现,SL型方程(#)或(##)明显不同于方程 Lu(a)= Au(r)
Wu Chong-shi ➴➷➬➮➱ Sturm-Liouville ✃❐❒❡❢❣❤✐❥ ❦ 5 ❧ §25.2 Sturm–Liouville ✶✷✸✒✓✔✕✖✗ ✤✹☞❰✺ ❑✰④⑤➣↔✻❰ ✸ ③✬✭➂➨✫➩➫➭➯➲❂✼✽✫✬✭➂➨✺ X00 + λX = 0; d dx 1 − x 2 dy dx + h λ − m2 1 − x 2 i y = 0; 1 r d dr r dR dr + h λ − m2 r 2 i R = 0. ❫⑤➃❅ ☎✾✜s☞✫✥➡➢➤ d dx p(x) dy dx + [λρ(x) − q(x)] y = 0. (#) ➳ ✖❳✿✫➂➨✽ ✜ Sturm–Liouville ✿ (✟ ✽ S–L ✿) ➂➨ ❂ • ➏❀❁ S–L ✿➂➨ ❑✫✦✧ p(x), q(x) ✛ ρ(x) ➈❂✜❇✾➆✦✧✰➜➊❇❈❉Õ⑥✫❸❹t ⑥⑦❂ • ρ(x) ✰ ✽ ✜❃ Ï ✦✧❂ • ❆❃ Ï ✦✧ ρ(x) = ③✧ ■ ✰➃❅ ➞✜ 1 ❂ • ➏ ✹✜③✧✫❃ Ï ✦✧✰➃ ❅ →❄✳Þß ❅☞❆❇✇✫í✑ (➳■➃ ❅❈ Laplace ✮✯✫❶ö ✡❉➤ ❑❊❋ã ❃ Ï ✦✧✫●❍❿ ❈■➩⑩✬ ✰❫❏❑➘❆❇▲▼✠◆✾✴❖P✫✦✧❂➃ ❅✽ ✥✜→❄✳★✩✫❰◗❘✴✫ ➏ú❙ t) ✰P➃➐ →❄✳➯➲❄ ✼✽✫❚❯tÑ✫➏ú ❙ t (♥◆✰❱ ▼✭❲✫ ➏ú❙ ) ❂▼➅✰❪④⑤❄ ✏❳✫❚❯➯➲➜❨✰ ➏❀❩✚ ρ(x) ≥ 0 ✰ ➜➊✰à❆➏ ✹✜ 0 ❂ ✜➘✤➻✫❬❭✰➋➃❅❪❫✮✯ L ≡ − d dx p(x) d dx + q(x) (>) ✫❴❵❂ ➳ä✰ S–L ✿➂➨❪➃❅❛ ➻➟ Ly(x) = λρ(x)y(x). (##) S–L ✿➂➨❜✞⑩ ê ❆✫❊❋●❍✰❪÷➟ S–L ✿➂➨✫➩➫➭➯➲❂ λ ✽ ✜➩➫➭❂✲✳ ↕✥✸ ➩➫➭ λ ✰❈❉ S–L ➂➨✽qà✫❊❋●❍✫çèå❪✾➩➫✦✧❂ ❈ ✬✭➂➨→✌ ✰ Û ✳ ρ(x) ✫➼❝✰ S–L ✿➂➨ (#) ❩ (##) ❚❞ ➏ r✳➂➨ L 0 u(x) = λu(x). (z)