第十八讲分离变量法(四)正交曲面坐标系 平面极坐标系和柱坐标系下的 Lapalce算符 平面极坐标(r,)和直角坐标(x,y)的关系是 r sino 由此容易求出 dr= cos o dr+ sin od do=sin d or 按照复合函数的求导法则 dr dr dr dr do or o ar a do d 进一步就能得到 a- a sino a Cos? a? 2 sino cos o 82, sin20 02 sin2o a 2 sin o cos o a 那-(m+=)( 2 o a2 c0s20 a 2 sin o cos o a ordo 最后就得到平面极坐标系下的 Laplace算符 W+b+产 1a/0)1a2 在此基础上,还可以得到柱坐标系下的 Laplace算符 8210 102a2 v Or+rar r2 aq 1a/0
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟ (✠) ✡☛ ☞✌✍✎✏ ✑✒✓✔✕✖✗✘✔✕✖✙✚ Lapalce ✛✜ ✢✣✤✥✦ (r, φ) ✧★✩✥✦ (x, y) ✪✫✬✭ x = r cos φ, y = r sin φ. ✮✯✰✱✲✳ dr = cos φ dx + sin φ dy, dφ = − sin φ r dx + cos φ r dy, ✴ ∂r ∂x = cos φ, ∂φ ∂x = − sin φ r , ∂r ∂y = sin φ, ∂φ ∂y = cos φ r . ✵✶✷✸✹✺✪ ✲✻✼✽✾ ∂ ∂x = ∂r ∂x ∂ ∂r + ∂φ ∂x ∂ ∂φ = cos φ ∂ ∂r − sin φ r ∂ ∂φ, ∂ ∂y = ∂r ∂y ∂ ∂r + ∂φ ∂y ∂ ∂φ = sin φ ∂ ∂r + cos φ r ∂ ∂φ. ✿❀❁❂❃❄❅ ∂ 2 ∂x2 = cos φ ∂ ∂r − sin φ r ∂ ∂φ cos φ ∂ ∂r − sin φ r ∂ ∂φ = cos2φ ∂ 2 ∂r2 − 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ + sin2φ r 2 ∂ 2 ∂φ2 + sin2 φ r ∂ ∂r + 2 sin φ cos φ r 2 ∂ ∂φ, ∂ 2 ∂y2 = sin φ ∂ ∂r + cos φ r ∂ ∂φ sin φ ∂ ∂r + cos φ r ∂ ∂φ = sin2φ ∂ 2 ∂r2 + 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ + cos2φ r 2 ∂ 2 ∂φ2 + cos2 φ r ∂ ∂r − 2 sin φ cos φ r 2 ∂ ∂φ. ❆❇❂❄❅✢✣✤✥✦✬❈✪ Laplace ❉❊ ∇2 ≡ ∂ 2 ∂r2 + 1 r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 ≡ 1 r ∂ ∂r r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 . ❋✯●❍■✾❏❑▲❄❅▼✥✦✬❈✪ Laplace ❉❊ ∇ 2 ≡ ∂ 2 ∂r2 + 1 r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 + ∂ 2 ∂z2 ≡ 1 r ∂ ∂r r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 + ∂ 2 ∂z2
18.球坐标系下的 球坐标系下的 Lapalce算符 球坐标(r,6,)和直角坐标(x,y,2)的关系是 由此可以解出 dr= sin 6 cos o dr+ sin 6 sin o dy +cos ed cos e cos cos s dr+ COs o rsin e y 因此 0 ar a 00 a do a az ar or+ 0x00+ ar do=sine cos dar a cos 0 coso a sino a a ar a a0 a do a a cos 6 sino a dy dy dr dy d8 d sin e d 0z 0z or 0z00 dr 在此基础上就可以求出 cos 6 coso a c0s20c0s20 a2 sin" cos oar a2 2sin 0 cos 0 cos2o a2 droe 2 sin o cos o 0- 2 cos 0 sin o cos o a- cos0 cos@+sin-o a rasin B a0a% 2 0 cos 0 cos2o+cos 0 sing a 2 o cos o a a2 a cos e 0 cos 0 sin o d In g sin sin 6 sin一+ 6 8 2 sin 0 cos 0 sin2o 002 r2 sin20 00- r06 2 sin o cos o a2 2 cos 0 sin o cos o 82 cos20 sin20+coso a drdo do dr -2sin20 cos 0 sin2o+ cos 0 cos2o a 2 sin o cos o a sin b a0 r2 sin20 ao 06 a2 sin20 a2 2 sin 0 cos 0 a2 2 sin 0 cos 0 a sine a
Wu Chong-shi §18. ◆❖P◗❘❙ Lapalce ❚❯ ❱ 2 ❲ ❳✔✕✖✙✚ Lapalce ✛✜ ❨✥✦ (r, θ, φ) ✧★✩✥✦ (x, y, z) ✪✫✬✭ x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. ✮✯❑▲❩✳ dr = sin θ cos φ dx + sin θ sin φ dy + cos θ dz, dθ = cos θ cos φ r dx + cos θ sin φ r dy − sin θ r dz, dφ = − sin φ r sin θ dx + cos φ r sin θ dy. ❬✯ ∂ ∂x = ∂r ∂x ∂ ∂r + ∂θ ∂x ∂ ∂θ + ∂φ ∂x ∂ ∂φ = sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ, ∂ ∂y = ∂r ∂y ∂ ∂r + ∂θ ∂y ∂ ∂θ + ∂φ ∂y ∂ ∂φ = sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ, ∂ ∂z = ∂r ∂z ∂ ∂r + ∂θ ∂z ∂ ∂θ = cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ . ❋✯●❍■❂❑▲✲✳ ∂ 2 ∂x2 = sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ = sin2 θ cos2 φ ∂ 2 ∂r2 + cos2 θ cos2φ r 2 ∂ 2 ∂θ2 + sin2 φ r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 + 2 sin θ cos θ cos2 φ r ∂ 2 ∂r∂θ − 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ − 2 cos θ sin φ cos φ r 2 sin θ ∂ 2 ∂θ∂φ + cos2 θ cos2 φ + sin2 φ r ∂ ∂r + −2 sin2 θ cos θ cos2 φ + cos θ sin2 φ r 2 sin θ ∂ ∂θ + 2 sin φ cos φ r 2 sin2 θ ∂ ∂φ, ∂ 2 ∂y2 = sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ = sin2 θ sin2φ ∂ 2 ∂r2 + cos2 θ sin2φ r 2 ∂ 2 ∂θ2 + cos2 φ r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 + 2 sin θ cos θ sin2 φ r ∂ 2 ∂r∂θ + 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ + 2 cos θ sin φ cos φ r 2 sin θ ∂ 2 ∂θ∂φ + cos2 θ sin2 φ + cos2 φ r ∂ ∂r + −2 sin2 θ cos θ sin2 φ + cos θ cos2 φ r 2 sin θ ∂ ∂θ − 2 sin φ cos φ r 2 sin2 θ ∂ ∂φ, ∂ 2 ∂z2 = cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ = cos2 θ ∂ 2 ∂r2 + sin2 θ r 2 ∂ 2 ∂θ2 − 2 sin θ cos θ r ∂ 2 ∂r∂θ + 2 sin θ cos θ r 2 ∂ ∂θ + sin2 θ r ∂ ∂r
交曲面坐标系 第3页 最后就得到球坐标系下的 Laplace算符 a2201 W++产m+产s1b+产5m26b rOr dr)+r2 a080 )+
Wu Chong-shi ❭❪❫❴ ❵❛❜❝❞ (❡) ❢❣ ❤✐ ❖P◗ ❱ 3 ❲ ❆❇❂❄❅❨✥✦✬❈✪ Laplace ❉❊ ∇ 2 ≡ ∂ 2 ∂r2 + 2 r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂θ2 + cos θ r 2 sin θ ∂ ∂θ + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 ≡ 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂ ∂r + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂ ∂θ + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2
§18.1圆形区 818.1圆形区域 圆形区域中的稳定问题.定解问题为 0 在直角坐标系下,方程(二维 Laplace方程)当然可以分离变量.但边界条件显然不能.由于边界的 形状是圆形,很自然地应该采用平面极坐标系 在平面极坐标系中,原来的定解问题应该可以写为 18(0)+2o2=0.,0<r< 1a2 u=f() 令u(r,)=R(T)(),代入方程,有 F(a)4+:2=0.→()=-za=1 因此,可以分离变量, AR=O d2④ +№=0. 但是边界条件 R(a)p(o)=f(0) 仍然不能分离变量,因为边界条件是非齐次的.我们尽管能够将齐次方程分离变量,得到两个含有 待定参数的齐次常微分方程,但是并没有相应的齐次边界条件与之配合而构成一个本征值问题 在平面极坐标系下应用分离变量法,又遇到了新的特殊的困难 上面出现的困难,完全是由于演绎中的疏漏造成的:在圆形区域的条件下,由平面直角坐标 系变换到平面极坐标系时,结果 0 1a2 a("a)+D=0.0<r<a 并不完全等价于原来的定解问题;或者说,它并不构成一个完整的定解问题
Wu Chong-shi §18.1 ❥❦❧♠ ❱ 4 ❲ §18.1 ♥ ♦ ♣ q rst✉✈✇①②③④ ⑤⑥❩⑦⑧⑨ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, x2 + y 2 < a2 , u x2+y 2=a2 = f. ❋ ★✩✥✦✬❈✾⑩❶ (❷❸ Laplace ⑩❶) ❹❺❑▲❻❼❽❾⑤❿➀➁➂➃➄❺➅❃⑤✮➆➀➁✪ ➇➈✭ ➉➇✾➊ ➋ ❺➌➍➎➏➐✢✣✤✥✦✬ ⑤ ❋✢✣✤✥✦✬ ➑✾➒➓✪ ⑥❩⑦⑧➍➎❑▲➔⑨ 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < r < a, u r=a = f(φ). → u(r, φ) = R(r)Φ(φ) ✾➣↔⑩❶✾↕ 1 r d dr r dR dr Φ + R r 2 d 2Φ dφ2 = 0, =⇒ r R d dr r dR dr = − 1 Φ d 2Φ dφ2 = λ. ❬✯✾❑▲❻❼❽❾✾ r d dr r dR dr − λR = 0, d 2Φ dφ2 + λΦ = 0. ❿ ✭ ➀➁➂➃ R(a)Φ(φ) = f(φ) ➙ ❺➅❃❻❼❽❾✾❬⑨➀➁➂➃✭➛➜➝✪⑤➞➟➠➡❃➢➤➜➝⑩❶❻❼❽❾✾❄❅➥➦➧↕ ➨⑥➩✺ ✪➜➝➫➭❻⑩❶✾❿✭➯➲↕➳➍✪➜➝➀➁➂➃➵➸➺✸➻➼➽❀➦➾➚➪⑦⑧⑤ ➶➹➘➴➷➬➮➱✃❐❒❮❰ÏÐ✾ÑÒÓÔÕ✇Ö×✇ØÙ Ú ■✣✳Û✪ÜÝ✾Þß✭ ✮➆àá ➑✪âãä➽ ✪å❋ ➉ ➇æç✪ ➂➃❈ ✾✮✢✣★✩✥✦ ✬ ❽è❅✢✣✤✥✦✬é✾êë 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < r < a, u r=a = f(φ). ➯➅Þßìí➆➒➓✪ ⑥❩⑦⑧îïðñ✾ò➯➅➼➽❀➦Þó✪ ⑥❩⑦⑧⑤
变量法(四 交曲面坐标系 第5页 第一,在数学上,原来定解问题的微分方程在圆内处处成立;然而变换到平面极坐标后,方 程在区间的端点中=0和φ=27并不成立严格说,在平面极坐标中,自变量φ的变化范第 是.27,因为a,9)在端点中=0和=27处的导数没有定八讲量最窿变量能定八 (x,)在两个端点处的、四,导数 个端点交曲是由于朵用平面极坐标系面写圆形而出现的,并非坐标时的系边界,在原面的 定解问题中,就极不上坐标定相应的边界条件系就导和在上面的结果中变有柱出u(, 在φ=0和φ=2处_应当,算的边界条件 的 平到平面极坐标系的点 完整的定解问题,应当和讲 。0)和(r,=27)代极的是平面上的一点,一以,标为 件 u(r,以)l=0=(,ol=2n和 正 香角上面到的由于Lapl程直角坐标系是换到极坐标系时面由此的容易可以求 出条件而得到和 第二,原来的方程在坐标原点(x,)=(0,0)变是成立的、但是,变换到平面极坐标后,方程在 r=0点并不成立,因为u(,)在r=0点的,导数变洋没有定八讲分量变量能定八u(, 在r=0点的 导数 法十 r=0为自变量的端点,变交曲是由采用极坐标系而出现的,它并不是圆形区城的系 当是有界的,应当坐和讲上有界条件女坐标原项的边 边 界系变丕按坐和讲上(,)在r=0点应 界条件 平到原来的方程是齐次的,在圆内( 的,因此,u(r,)在坐标原点应 u(r,o)=0有界 数导:在法则到平面极坐标系,,定进问题一应步变就 1 8/0u\ 1 8u 0 0<φ<2丌,0<r 0<r<a, 0u(r,) du(r, o 0<r<a 1=2r =0有界 0<φ<2π
Wu Chong-shi ❭❪❫❴ ❵❛❜❝❞ (❡) ❢❣ ❤✐ ❖P◗ ❱ 5 ❲ F ô ❀✾❋✺õ■✾➒➓⑥❩⑦⑧✪➭❻⑩❶❋ ➉ö÷÷➽øî ❺ ➻❽è❅✢✣✤✥✦❇✾⑩ ❶❋æù✪úû φ = 0 ✧ φ = 2π ➯➅➽ø⑤üýñ✾❋✢✣✤✥✦ ➑ ✾ ➋❽❾ φ ✪ ❽þÿ ✭ [0, 2π] ✾❬⑨ u(r, φ) ❋ úû φ = 0 ✧ φ = 2π ÷✪✁ ✻✺ ➲ ↕⑥✂✾✄☎❾❆✆✝✞❃⑥✂ u(r, φ) ❋➥➦úû÷✪✟✠✁✻✺⑤ ✡➥➦úû☛☞✭ ✮➆ ➏➐✢✣✤✥✦✬✌ ➔ ➉ ➇➻✳Û✪ ✾ ➯➛✍✎✪✏✑➀➁✾❋➒✒ ✪ ⑥❩⑦⑧ ➑ ✾❂✓ ➅ ■✔✕⑥➳ ➍✪➀➁➂➃⑤✡✖❂✻✗❋■✣ ✪ êë ➑ ✝ ➲ ↕✘✳ u(r, φ) ❋ φ = 0 ✧ φ = 2π ÷✙➍❹✚✛✪ ➀➁➂➃⑤ ✜✢❅✢✣✤✥✦✬✪✣û ✾ (r, φ = 0) ✧ (r, φ = 2π) ➣✤ ✪✭✢✣■ ✪✥ ❀ û ✾ ✙ ▲✾✦⑨ Þó✪ ⑥❩⑦⑧✾➍❹✧ ✄■★✩➂➃ u(r, φ) φ=0 = u(r, φ) φ=2π ✧ ∂u(r, φ) ∂φ φ=0 = ∂u(r, φ) ∂φ φ=2π . ✡✖✾■✣✪❅ ✪ ✮➆✫ Laplace ⑩❶✬ ★✩✥✦✬✭ è❅✤✥✦✬é➻✮✯✪✰✱✾❑▲✲ ✳★✩➂➃➻❄❅✧✴⑤ F ô❷✾➒➓✪ ⑩❶❋✥✦➒ û (x, y) = (0, 0) ✝ ✭ ➽ø✪ ⑤❿ ✭ ✾❽è❅✢✣✤✥✦❇✾⑩❶❋ r = 0 û➯➅➽ø⑤❬⑨ u(r, φ) ❋ r = 0 û✪✁ ✻✺✝ ➯➲↕⑥✂✾✄☎❾✝✞❃⑥✂ u(r, φ) ❋ r = 0 û✪✟✠✁✻✺⑤ r = 0 û ✦⑨ ➋❽❾ r ✪úû✾✝ ☛☞✭ ✮ ➏➐✤✥✦✬ ➻✳Û✪ ✾ò ➯➅✭ ➉➇æç✪✏✑ ➀➁⑤✡✖✝❏✵✔✧ ✄■ u(r, φ) ❋ r = 0 û✙➍❹✚✛✪ ➀➁➂➃⑤ ✜✢❅➒➓✪ ⑩❶✭➜➝✪✾❋ ➉ö (✶✷✥✦➒ û) ✭✸✹✪ ✾❬✯✾ u(r, φ) ❋✥✦➒ û➍ ❹✭↕➁✪ ✾ ➍❹✔ ✧ ✄■↕➁➂➃ u(r, φ) r=0↕➁. ✺✻å ➶✼✽Ó➹➘➴➷➬➮✾✾②✿③④❀✃❁❰❂ 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < φ < 2π, 0 < r < a, u(r, φ) φ=0 = u(r, φ) φ=2π , 0 < r < a, ∂u(r, φ) ∂φ φ=0 = ∂u(r, φ) ∂φ φ=2π , 0 < r < a, u(r, φ) r=0 ↕➁, 0 < φ < 2π, u r=a = f(φ), 0 < φ < 2π