用在前一次运算的结果上,就会出错,例如 b +c btd 这样的运算是错误的,出错的原因在于第二次运算找错了对象 此外还要注意运算n+与r+r;的区别,记号r;+k,不 能写作kr,+r,(这里不能套用加法的交换律) 上述诸例都是利用运算r+kr,把行列式化为上三角形行列 式,用归纳法不难证明(这里不证)任何n阶行列式总能利用运算 r:+kr;化为上三角形行列式,或化为下三角形行列式(这时要先 把a1n…,an1.,化为0).类似地,利用列运算c1+kc;,也可把行 列式化为上三角形行列式或下三角形行列式 例10设 0 1 D2=det(bi) b 证明D 证对D1作运算r;+k;,把D1化为下三角形行列式,设为
0 Pilp Pu 对D2作运算c:+kc;,把D2化为下三角形行列式,设为 0 411 9n 于是,对D的前k行作运算r;+kr;,再对后n列作运算 kc;,把D化为下三角形行列式 户k!……P 故 §6行列式按行(列)展开 一般说来,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于 是,我们自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.为 此,先引进余子式和代数余子式的概念 在n阶行列式中,把元素a所在的第i行和第列划去后,留 下来的n-1阶行列式叫做元素a;的余子式,记作M;记 A1叫做元素a;的代数余子式 0
例如四阶行列式 中元素a32的余子式和代数余子式分别为 1 A32=(-1)3+2M2=-M32 引理一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除au外都 为零,那末这行列式等于ag与它的代数余子式的乘积,即 D=aA 证先证a;位于第1行第1列的情形,此时 G*1 ar2 这是例10中当k=1时的特殊情形,按例10的结论,即有 从而 1A11 再证一般情形,此时
为了利用前面的结果,把D的行列作如下调换:把D的第 行依次与第氵-1行、第i-2行、…、第1行对调,这样a就调到原 来a1;的位置上,调换的次数为;-1.再把第j列依次与第j-1 列、第j-2列、…第1列对调这样a就调到左上角,调换的次 数为j-1.总之,经i+j-2次调换,把an调到左上角,所得的行 列式D1=(-1)2D=(-1)D,而元素a在D中的余子式 仍然是an在D中的余子式M 由于a;位于D1的左上角,利用前面的结果,有 于是 D=(-1)D1=(-1)a,Mn=aA1 定理3行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代 数余于式乘积之和,即 或D=a1Aly+a2A (=1,2,…,n) 证 D=a1+0+…+00+a12+…0…0+…+0+a
0 0 unt am2 00 根据引理,即得 A;2+ (i=1,2,…,n) 类似地,若按列证明,可得 2j (=1,2,…,n) 这个定理叫做行列式按行(列)展开法则利用这一法则并结 合行列式的性质,可以简化行列式的计算 下面用此法则来计算例7的 513-4 201-1 I-53-3 保留a33,把第3行其余元素变为0,然后按第3行展开