bu b D b.1 b 出行列式D=det(a;)变换i,j两行得到的,即当k+i,时 p=ap;当k=1,时,bp=a1p,b1=an,于是 =E(-1)a;"“am"ap"an, 其屮1…i…j…n为自然排列,t为排列p;…p;…力…p。的逆序 数设排列p1…P;…p;…pn的逆序数为t1,则(-1)=(-1), D;=“(-1)a,"a¨an"a",=-D 以n;表示行列式的第i行,以c表示第i列.交换i,两行记 作r“r;,交换i,两列记作c:→ 推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零 证把这两行互换,有D=-D,故D=0 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k,等于用数k乘此行列式 第行(或列)乘以k,记作r;Xk(或c×k) 推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行 列式符号的外面 第i行(或列)提出公因子k,记作r;÷k(或C;÷k) 性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式 等于零 性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如
第t列的元素都是两数之和 则D等于下列两个行列式之和: 2 性质6把行列式的某一列(行)的各元素秉以同一数然后加 到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变 例如以数k乘第j列加到第i列上(记作c;+kc),有 aim (a2;+ka2,) (an+kani) ,郾对 (以数k乘第j行加到第i行上,记作r+kr;)
以上诸性质请读者证明之 上述性质5表明,当某一行(或列)的元素为两数之和时,行列 式关于该行(或列)可分解为两个行列式,若n阶行列式每个元素 都表示成两数之和,则它可分解成2个行列式.例如二阶行列式 b+ b c+2 dtw c d+w Z TEA 性质2、3、6介绍了行列式关于行和关于列的三种运算,即 r;、r,×k、n1+k和cE、c1×k、C;+k,利用这些运算可 简化行列式的计算,特别是利用运算r+kr,(或c;+kc,)可以把 行列式中许多元素化为0.计算行列式常用的一种方法就是利用 运算r;+kr把行列式化为上三角形行列式,从面算得行列式的 值.请看下例 例7计算 31-12 51 513-3 o16-27 r3+4r2 021-1r4-8202 8-10 016-27 00-1015 16
13-1 08-10 上述解法中先用了运算c1c2,其目的是把a1换成1,从而 利用运算r;“a1r1,即可把at(i=2,3,4,)变为0.如果不先作 c:“c2,则由于原式中an=3,需用运算;“3r把an变为0, 这样计算时就比较麻烦.第二步把r2-r1和r4+5r1写在 这是两次运算,并把第一次运算结果的书写省略了 例8计算 D 解这个行列式的特点是各列4个数之和都是6.今把第2、 3、4行同时加到第1行,提出公因子6,然后各行减去第一行: 1311 1131 1131 0200 17
例9计算 u atb a+b+c a十b+c+d a 24+b 3a+26tc 48+36+2c+ d 解从第4行开始,后行减前行: r2-ri 0 a 2a+b 3a+2b+c 3a+b 64+36 re-r310 aa+b a+b+c 2a+b 上述诸例中都用到把几个运算写在一起的省略写法,这里要 注意各个运算的次序一般不能颠倒,这是由于后一次运算是作用 在前一次运算结果上的缘故.例如 b+d b 叮见两次运算当次序不同时所得结果不同.忽视后一次运算是作