0010 5-530 (-1)3 5-50 -5-50 0-5 例11计算 解按第1行展开,有 D2n 0 0
+b(-1) 0 c 0 (-1)2-1+D2(n-1)=(ad-bc)D2(n-1), 以此作递推公式,即可得 )2D2(n 例12证明范德蒙德( Vandermonde)行列式 其中记号“正”表示全体同类因子的乘积 证用数学归纳法因为 D2 ), 所以当n=2时(8)式成立现在假设(8)式对于n-1阶范德蒙德
行列式成立,要证(8)式对n阶范德蒙德行列式也成立 为此,设法把Dn降阶:从第n行开始,后行减去前行的x1 倍,有 D=0 x2( 按第1列展开,并把每列的公因子(x1-x1)提出,就有 x 上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式,按归纳法假设,它 等于所有(x2-x;)因子的乘积,其中n≥i>j≥2故 1)(x3-x1)…( (x 证毕 ≥:>r31 例11和例12都是计算n阶行列式计算n阶行列式,常要 使用数学归纳法,不过在比较简单的情形(如例11),可省略归纳 法的叙述格式,但归纳法的主要步骤是不可省略的,这主要步骤 是:导出递推公式(例11中导出D2n=(ad-bc)D2x(n-1)及检验 n=1时结论成立(例1中最后用到=ad-b) d 由定理3,还可得下述重要推论 推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的 代数余子式乘积之和等于零.即
或 证把行列式D=det(a)按第j行展开,有 在上式中把a换成a(k=1,…,n),可得 ←第i行 当i*j时,上式右端行列式中有两行对应元素相同,故行列式等 于零,即得 (i*j) 上述证法如按列进行,即可得 An=0,(i+j) 证毕 综合定理3及其推论,有关于代数余子式的重要性质
0,当i+」 D,当i= k“1 当 其中 §7克拉默法则 含有n个未知数x1,x2,…,xn的n个线性方程的方程组 anx1+an2x2+…+anxn=b 与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用n阶行列式表示,即有 克拉法则如果线性方程组(9]的系数行列式不等于零,即 那末,方程组(9)有唯 D, (10) 其中D(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素用方 程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即 11 b1