共有n!项.所有这n!项的代数和 E(-1)2at,22“an, 称为n阶行列式,记作 a 简记作det(a)数a,称为行列式det(a1)的元素 按此定义的二阶、三阶行列式,与§1中用对角线法则定义的 二阶、三阶行列式,显然是一致的当n=1时,一阶行列式!a a,注意不要与绝对值记号相混淆 例5证明对角行列式(其中对角线上的元素是A2,未写出的 元素都是0) λ A1A2…An; (-1) 证第一式是显然的,下面只证第二式 若记A;=a,n-:+1,则依行列式定义 a2,n-1
其中t为排列n(n-1)…21的逆序数,故 1=0+1+2+…+(n-1)=(n-1) 证毕 对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角形行 列式,它的值与对角行列式一样 例6证明下三角形行列式 证由于当j>i时,an=0,故D中可能不为0的元素ap 其下标应有p≤i,即p1≤1,P2≤2,…,p≤n 在所有排列p1p2…p。中,能满足上述关系的排列只有 个自然排列12…n,所以D中可能不为0的项只有一项 1)a1a22:2n,此项的符号(-1)=(-1)°=1,所以 §4对换 为了研究n阶行列式的性质,先来讨论对换以及它与排列的 奇偶性的关系 在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,这种作出 新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对换,叫做相邻对换 定理1一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性 证先证相邻对换的情形
设排列为a1…akbb1…bn,对换a与b,变为a:…aab1…ba 显然,a1,…,a1;b1,…,bm这些元素的逆序数经过对换并不改变 而a,b两元素的逆序数改变为:当a<b时,经对换后a的逆序 数增加1而b的逆序数不变;当a>b时,经对换后a的逆序数不 变而b的逆序数减少1.所以排列a1…aab1…bn与排列 a1…abab1…bm的奇偶性不同 再证一般对换的情形 设排列为a1…amab1…bmbc1…cn,把它作m次相邻对换,调 成a1…aabb1…bnc1…cn,再作m+1次相邻对换,调成 a1…a如b1…bac1…Cn总之,经2m+1次相邻对换,排列 a1…aab1…bnbc1…cn调成排列a1…abb1…bnac…cn,所以这两 个排列的奇偶性相反 推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成 标准排列的对换次数为偶数 证由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而 标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立 证毕 利用定理1,下面来讨论行列式定义的另一种表示法 对于行列式的任一项 其中1…i…jn为自然排列,t为排列p1pb…p…pn的逆序 数,对换元素a与a1成 Ip 这时,这…项的值不变,而行标排列与列标排列同时作了一次相应 的对换.设新的行标排列1…j…i…n的逆序数为r,则r为奇数; 设新的列标排列p1………pn的逆序数为h1,则 (-1)2=-(-1)2.故(-1)=(-1)+,于是
(-1)4 这就表明,对换乘积中两元素的次序,从而行标排列与列标排 列同时作了相应的对换,则行标排列与列标排列的逆序数之和并 不改变奇偶性.经一次对换是如此,经多次对换当然还是如此.于 是,经过若干次对换,使 列标排列pp2…pn(逆序数为t)变为自然排列〔逆序数为 0) 行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列,设此新排 列为q1q2…qn,其逆序数为s,则有 (-1)a P2P2an.=(-1) 又若p1=j则q=i(即a1=a;=a/).可见排列 q1q2…!qn由排列p1p2…pn所唯一确定 由此可得 定理2n阶行列式也可定义为 D=2(-1)a 其中t为行标排列p1P2…P的逆序数 证按行列式定义有 2p 按上面讨论知:对于D中任一项(-1)a1p,a 总有 且仅有D1中的某一项(-1)a142…a,与之对应并相等;反 之,对于D1中的任一项(-1)an1122,也总有且仅有D中 的某一项(-1)a1g,a2,…am与之对应并相等,于是D与D1中 的项可以一一对应并相等,从而D=D
§5行列式的性质 a11a21 行列式D称为行列式D的转置行列式 性质1行列式与它的转量行列式相等 证记D=det(a;)的转置行列式 b1 b b b b 即 J ),按定义 D=x(-1)2b2…b,E(-1)an14n2” 而由定理2,有 Σ(-1)a 故 D=D 证毕 由此性质可知,行列式中的行与列具有同等的地位,行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立,反之亦然 性质2互换行列式的两行(列},行列式变号 证设行列式