a3a3243 +a12a23a31+a13a21a32-a11a2432 (6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式 上述定义表明三阶行列式含6项,每项均为不同行不同列的 三个元素的乘积再冠以正负号,其规律遵循图1.2所示的对角线 法则:图中有三条实线看作是平行于主对角线的联线,三条虚线看 作是平行于副对角线的联线,实线上三元素的乘积冠正号,虚线上 三元素的乘积冠负号 图1.2 例2计算三阶行列式 解按对角线法则,有
D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-4)×(-2)×4 1×1×4-2X(-2)x(-2)-(-4)×2×(-3) 4-6+32-4-8-24=-14 例3求解方程 23x=0 解方程左端的三阶行列式 12 =x2-5x+6, 由x2-5x+6=0解得x=2或x=3 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,为研究四阶及更高 阶行列式,下面先介绍有关全排列的知识,然后引出n阶行列式 的概念 §2全排列及其送序数 先看一个例子 引例用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的 三位数? 解这个问题相当于说,把三个数字分别放在百位、十位与个 位上,有几种不同的放法? 显然,百位上可以从12、3三个数字中任选一个,所以有3种 放法;十位上只能从剩下的两个数字中选一个,所以有2种放法; 而个位上只能放最后剩下的一个数字,所以只有1种放法因此, 共有3×2×1=6种放法 这六个不同的三位数是
123,231,312,132,213,321 在数学中,把考察的对象,例如上例中的数字1、2,3叫做元 素.上述问题就是:把3个不同的元素排成一列,共有几种不同的 排法? 对于n个不同的元素,也可以提出类似的问题:把n个不同 的元素排成列,共有几种不同的排法? 把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(也 简称排列 n个不同元素的所有排列的种数,通常用Pn表示,由引例的 结果可知P;=3·2·1=6 为了得出计算Pn的公式,可以仿照引例进行讨论 从n个元素中任取一个放在第一个位置上,有n种取法 又从剩下的n-1个元素中任取个放在第二个位置上,有 n-1种取法; 这样继续下去,直到最后只剩下一个元素放在第n个位置 上,只有1种取法.于是 Pn=n(n-1)……3·2·1=n! 对于n个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序 例如n个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在 这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序 不同时,就说有1个逆序一个排列中所有逆序的总数叫做这个排 列的逆序数 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做 偶排列 下面来讨论计算排列的逆序数的方法 不失一般性,不妨设n个元寡为1至n这n个自然数,并规 定由小到大为标准次序.设
为这n个自然数的一个排列,考虑元素p(i=1,2,…,n),如果 比p,大的且排在p前面的元素有t1个,就说p,这个元素的递序 数是t1,全体元素的逆序数之总和 即是这个排列的逆序数 例4求排列32514的逆序数 解在排列32514中 3排在首位,逆序数为0 2的前面比2大的数有一个(3),故逆序数为1 5是最大数,逆序数为0; 1的前面比1大的数有三个(3、2、5),故逆序数为3 4的前面比4大的数有一个(5),故逆序数为1,于是这个排列 的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5 §3n阶行列式的定义 为了作出n阶行列式的定义,先来研究三阶行列式的结构 三阶行列式定义为 a21a2a2=a1a2a3+a12a23a31+a1a21a32 容易看出 (i)(6)式右边的每一项都恰是三个元素的乘积,这三个元素 位于不同的行、不同的列.因此,(6)式右端的任一项除正负号外可
以写成a1p,42p,3,这里第一个下标(行标)排成标准次序123 而第二个下标(列标)排成内p2p3,它是1、23三个数的某个排 列.这样的排列共有6种,对应(6)式右端共含6项 (i)各项的正负号与列标的排列对照 带正号的三项列标排列是:123,231,312 带负号的三项列标排列是:132,213,321 经计算可知前三个排列都是偶排列,而后三个排列都是奇排 列因此各项所带的正负号可以表示为(-1)2,其中t为列标排列 的逆序数 总之,三阶行列式可以写成 其中t为排列pp2p3的逆序数,Σ表示对12、3三个数的所有排 列p户2p3取和 仿此,可以把行列式推广到一般情形 定义设有n2个数排成n行n列的数表 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号 (-1)2,得到形如 的项,其中p1p2…pn为自然数1,2,…,n的一个排列,t为这个 排列的逆序数.由于这样的排列共有n!个,因而形如(7)式的项