四、中心极限定理列维定理 设独立随机变量X1,X2,Xn,服从相同的分布并且有数 学期望和方差:E(X)=,D(X)=a2>0,i=1,2,…,n 则当n→>∞时,它们和的极限分布是正态分布,即 ∑X1-nH lim pl il m02-2G为任意实数) 考虑随机变量:Yn=∑X, 则E(n)∑E(X)=nD(xn)=∑D(X1)=na2 i=1
6 列维定理 学期望和方差： ( ) , ( ) 0, 1,2, , , . 2 E X D X i n i i 则当 n 时，它们和的极限分布是正态分布，即 (z 为任意实数.) 设独立随机变量 , , , , X1 X 2 X n 考虑随机变量: , 1 n i Yn X i 则 n i E X i 1 ( ) n i D X i 1 ( ) 服从相同的分布并且有数 四、中心极限定理
德莫威尔一拉普拉斯定理 设在独立实验序列中,事件A在各次实验中发生的概率为 p(0<p<1)随机变量Y表示事件A在n次实验中发生的次 数,则有limP-n np <Z n→0 npg 2丌 其中z是任何实数,P+q=1. 由于随机变量Y服从二项分布B(n,p),所以德莫威尔一拉普 拉斯定理说明:当n充分大时,服从B(n,)的随机变量Yn 近似地服从正态分布N(qp,mpg) p(m1≤Pn≤m2)≈ np npq npq
7 德莫威尔—拉普拉斯定理 其中z 是任何实数， 设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为 随机变量 表示事件A 在n 次实验中发生的次 数，则有 Yn N np ，npq . 由于随机变量 Yn服从二项分布 Bn，p， 拉斯定理说明：当 n 充分大时，服从 Bn，p的随机变量 2 1 1 2 npq m np npq m np p m Yn m 所以德莫威尔—拉普 近似地服从正态分布
五、练习题 1.设X~N(0,求下列概率: (1)P(X≤1.5);(2)P(X>2.5); (3)P(Xk1.68);(4)P(-0.36≤X≤0.64) 解(1)P(X≤15)=①(1.5)=0.9332 (2)P(X>2.5)=1-Φ(25)=1-0.9938=0.0062 (3)P(Xk1.68)=P(-1.68<X<168) Φ(1.68)-Φ(-1.68)=2①(168)-1 =2×0.9535-1=09070 (4)P(-0.36≤X≤0.64)=Φ(0.64)-Φ(0.36 =(064)+①(0.36)-1=0.7389+06406-1=0.3795
8 1. 解 (1) P(X 1.5) (1.5) 0.9332 (2) P(X 2.5) 1 (2.5) 1 0.9938 0.0062 (3) P(| X | 1.68) P(1.68 X 1.68) (1.68) (1.68) 2(1.68) 1 2 0.9535 1 09070 (4) P(0.36 X 0.64) (0.64) (0.36) (0.64) (0.36) 1 0.7389 0.6406 1 0.3795 五、练习题
2.设X~N(1,22),求下列概率: (1)P(X<2.2);(2)P(1.6≤X<58); (3)P(Xk35);(4)P(X|4.56) 2.2-1 解(1)P(X<2.2)=①()=①(0.6)=0.7527 2 5.8 (2)P(-16≤X<58)=Φ( 1.6 )-①( 2 2 =Φ(24)-(-13)=①(24)-1+Φ(13)=08950 3.5-1 (3)f(Xk3.5)=@2 3.5 =Φ(125)-Φ(-225)=Φ(1.25)-1+Φ(225) (4)P(X4.56)=1-P(X4.56 4.56 4.56-1 =1-① +Φ( =0.0402
9 2. 解 (1) P(X 2.2) ) 2 2.2 1 ( (0.6) 0.7527 (2) P(1.6 X 5.8) ) 2 5.8 1 ( ) 2 1.6 1 ( (2.4) (1.3) (2.4) 1 (1.3) 0.8950 (3) P(| X | 3.5) ) 2 3.5 1 ( ) 2 3.5 1 ( (1.25) (2.25) (1.25) 1 (2.25) (4) P(| X | 4.56) 1 P(| X | 4.56) ) 2 4.56 1 1 ( ) 2 4.56 1 ( 0.0402
3.已知某机械零件的直径(mm)服从正态分布N(100,0.6) 规定直径在100+12(mm)范围内为合格, 求这种机械零件不合格品率 解:设随机变量X表示这种机械零件的直径,则 X~N(100,0.62 由题意:P(X-100>1.2)=1-P(X-10012) X-100 X-100 ≤2)=1-P(-2≤ 0.6 1-{(2)-d(-2)=1-{(2)-1-(2) 1-0.9972-(1-0.9972)=0.0456
10 则 3. 已知某机械零件的直径(mm)服从正态分布 规定直径在100±1.2(mm)范围内为合格, 求这种机械零件不合格品率. 解: 设随机变量 X 表示这种机械零件的直径, 由题意: