量分析证明：ik5a.=(a,b. -a.b,)+(a.b,-a,b.)+(ab,-a,b,)kaxb=axayb.bx bykji =cx(axb)-CxCyC.a,b.-a.b,a.bx-ab.ab,-a,bx =[c,(ab,-a,b)-c.(a.b,-a,b.) =[a(b,c, +b.c.)-b,(a,c, +a.c.)[a.(bxx+byc, +b.c.)-b;(+a,c, +a.c.)=[a(6.a)-b(a.a)2014年8月郭志石河子大学理学院物理系6荣编写
2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 证明： (a b a b )i (a b a b )j (a b a b )k b b b a a a i j k a b y z z y z x x z x y y x x y z x y z = = − + − + − ( ) y z z y z x x z x y y x x y z a b a b a b a b a b a b c c c i j k f c a b − − − = = ( ) ( ) ( ) ( ) a ( b c b c ) b ( a c a c )i a (b c ) b (a c )i f c a b a b c a b a b i a b c b c b a c a c i x x x y y z z x x x y y z z x x x y x y y x z z x x z x y y z z x y y z z = + + − + + = − = − − − = + − + b c a c 6
矢量分析·同样计算可得：j,=a,(6.c)-b,(a.c)J. = [a.(6.a)-b.(a.c)k三失量失积公式：F=J+J,+J=cx(axb)= (c.b)a-(c.a)b记忆规律：括号外的矢量与括号内的两矢量分别点乘<较远一项点乘后为正，与较近一项点乘后为负>然后再与第三矢量相乘后求和郭志2014年8月石河子大学理学院物理系7荣编写
2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 同样计算可得： • 三矢量矢积公式： • 记忆规律：括号外的矢量与括号内的两矢量分别点乘<较 远一项点乘后为正，与较近一项点乘后为负>然后再与第 三矢量相乘后求和. c (a b ) (c b)a (c a)b f f f f x y z = = − = + + ( ) ( ) f a (b c ) b (a c )k f a b c b a c j z z z y y y = − = − 7
矢量分析矢量函数的极限和连续性a()=a,(t)i +a,(0)j+a.()klim u(t)a(t) = lim u(t) lim a(t)t-→tot-→tot-→tolim [a(t)±b(t)]= lim a(t)± lim b(t)t→>tot→>to1lim [a(t).b(t)]= lim a(t) lim b(t)t-→to→toIim [a(t)×b(t)= lim a(t)× lim b(t)t-→>tot→to2014年8月郭志石河子大学理学院物理系8荣编写
2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量函数的极限和连续性 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim (t) ( ) lim (t)lim ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t u a t u a t a t a t i a t j a t k t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t x y z → → → → → → → → → → → → = = = = = + + 8
矢量分析·矢量函数的导数、微分、积分a(t)= a, (t)i +a,(0)j +a. (t)kda(t)da,(t)da,():dadtdtdtdtda(t)= da, (t)i + da,(0)j + da. ()k[a(t)dt = fa.(t)dt + f a,(t)dt + fa. ()d一导失在该处的切线上，其方向为t增大的方向一导在几何上为一切向矢量。2014年8月郭志石河子大学理学院物理系C荣编写
2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量函数的导数、微分、积分 – 导矢在该处的切线上，其方向为t增大的方向 – 导矢在几何上为一切向矢量。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + = + + = + + a t t a t t a t t a t t a t a t i a t j a t k k t a t j t a t i t a t t a t a t a t i a t j a t k x y z x y z x y z x y z d d d d d d d d d d d d d d d d 9
矢量分析·矢量函数的导数公式dbdadcC=0, (c为常矢量)(1)6-+axdtdtdtdtdada dud, dbda(7)若a=a(u),而u=u(t),则有b18(2)dtdu dtdtd-dt如(5)的证明：dad(a.) = lim 4(a.b)(3)ka(k为常量)1-ddlaJimdt△tAt0duda10(4)ua(a + Aa) (6 + △b)- a. bulad-dtdt= lim△tNI-→0dbdaD16(5)10dbdba.Ab+Aa.b+Aa.Ab0dt16dtdt= limadtdt△tN0郭志2014年8月石河子大学理学院物理系10荣编写
2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量函数的导数公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t a t a a t t a a u t u ua t k t a ka k t t t a a t c t c d db b d d b d d (5) d d d d d d (4) d d d d (3) d db d d b d d (2) 0, d d (1) = + = + = = + = 为常量 为常矢量 ( ) t u u a t a a a u u u t t a t a a t d d d d d d (7) ( ), ( ) d db b d d b d d (6) = = = = + 若 而 ，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) b t b t b a t a b a b a b t a a b b a b t a b t a b t t t = + + + = + + − = = → → → d d d d lim lim lim d d (5) 0 0 0 如 的证明： 10