3、向量列和矩阵列的收敛 定义3对于R"中的向量序列{X},如果 imX6)-X|=0台imX6)=X k→)∞ 则称向量序列X}收敛于R中的向量X 定义4对于m阶方阵序列{4“},如果 limA )-A=0 e limA( k→)0 则称矩阵序列{4}收敛于n阶方阵A 注意:由范数等价性可知,如果向量列或矩阵在一种范 数意义下收敛,则在其它范数意义下也收敛
3、向量列和矩阵列的收敛 定义3 对于 中的向量序列 如果 则称向量序列 收敛于 中的向量 n R ( ) , k X 0 ( ) lim || || k k X X → − = ( ) k X n R X. 定义4 对于n阶方阵序列 如果 则称矩阵序列 收敛于n阶方阵 ( ) , k A 0 ( ) lim || || k k A A → − = ( ) k A A. ( ) lim k k X X → = ( ) lim k k A A → = 注意：由范数等价性可知，如果向量列或矩阵在一种范 数意义下收敛，则在其它范数意义下也收敛
定理2R中的向量序列{X4}收敛于向量X的充要 条件是 imx)=x;(j=1,2,…,n) k-)∞ 其中x(和x分别表示X和X中的第个分量。 定理3m阶方阵序列A4}收敛于矩阵A的充要条件是 ima(k) = 其中a4)和a分别表示A)和A中的第行列的元素
定理2 中的向量序列 收敛于向量 的充要 条件是 其中 和 分别表示 和 中的第 个分量。 n R ( ) k X 1 2 ( ) lim ( , , , ) k j j k x x j n → = = X ( ) k j x j x ( ) k X X j 定理3 n阶方阵序列 收敛于矩阵 的充要条件是 其中 和 分别表示 和 中的第 行 列的元素。 ( ) k A 1 2 ( ) lim ( , , , , ) k ij ij k a a i j n → = = A ( ) k ij a ij a ( ) k A A i j
4、谱半径与谱范数 定义5设m阶方阵A的特征值为(=,2,…,m),则称 P(A)=max 2, I 1≤isn 为矩阵A的谱半径。 定理对任何一种具有相容向量范数的矩阵范数|A, 总有p(4)SA 说明:矩阵A的谱半径不超过它的任何一种范数,即 任何|A都是A的特征值的上界
4、谱半径与谱范数 定义5 设n阶方阵A的特征值为 则称 为矩阵A的谱半径。 1 ( ) max | | i i n A = ( , , , ), 1 2 i i n = 定理 对任何一种具有相容向量范数的矩阵范数||A||， 总有 ( ) | | A A | | . 说明：矩阵A的谱半径不超过它的任何一种范数，即 任何||A||都是A的特征值的上界
定理4如果A∈R",则 (D)42=√m(4A)=√/(AA)‖A2增范数 (2)若A为对称矩阵,则‖A2=p(A) 证明:略。 定理5设A是任意n阶方阵,则limA=0分p(4)<1 证明:略
定理4 如果 A R n n , 则 2 max (1) || || ( ) ( ) A A A A A = = (2) 若A为对称矩阵，则 2 || || ( ) A A = 定理5 设A是任意n阶方阵，则 lim ( ) . 0 1 k k A A → = ||A||2—谱范数 证明：略。 证明：略
作业 1.P112第8题 2.预习§2
作 业 1. P112 第8题 2. 预习§2