线性代数第12讲 正交矩阵及其性质 2021/2/20
2021/2/20 1 线性代数第12讲 正交矩阵及其性质
定义6设A为n阶方阵,如果AZA=L,就称A为正 交矩阵 定理4A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量组为P的一组标准正交基 正设 ain A a an n2 按列分块为[ax1c2,,nl 2021/2/20
2021/2/20 2 定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I, 就称A为正 交矩阵. 定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量组为Rn的一组标准正交基. 证 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 按列分块为[a1 ,a2 ,...,an ]
于是 al A A 1:2:n an a an a 因此4A=/的充分必要条件是 aa1=(ax12a1)=1,i=1,2,…,n 且aa1=(a,a,)=0,j≠,j=1,2,,n 即A的向量组{a1,a2,…,an} 为R的一组标准正交基. 3 2021/2/20
2021/2/20 3 于是 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 , , , T T T T n T T T T T n n T T T T n n n n n A A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = . { , , , } ( , ) 0, , , 1,2, , . ( , ) 1, 1,2, , ; 1 2 为 的一组标准正交基 即 的向量组 且 n n j i j T i i i i T i R A j i i j n i n a a a a a a a a a a a = = = = = = 因此ATA=I的充分必要条件是
定理5设A,B皆是n阶正交矩阵,则 (i)detA=1或-1;(i)A-1=4,(i)A(即A1)也是 正交矩阵;(i)AB也是正交矩阵 证(i)det(4Z4)=det()=1-(det(4)2,所以成立, (i)74=,当然就是4l=4, (i)(4)=A4=A4-1=l,所以4(即A也是正 交矩阵,从而A的行向量组也是R的一组标准 正交基, (iV)由(AB)(AB)=B(A)B=BB=,即得AB也 是正交矩阵 2021/2/20
2021/2/20 4 定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT ; (iii) AT (即A-1 )也是 正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵. 证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2 , 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT , (iii) (AT ) TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT (即A-1 )也是正 交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标准 正交基, (iv) 由(AB) T (AB)=BT (ATA)B=BTB=I, 即得AB也 是正交矩阵
定理6若列向量X,Y∈R在n阶正交矩阵A作用 下变换为AX,AY∈R,则向量的内积与长度及 向量间的夹角都保持不变,即 (Ax,4Y)(x,,1, RAX,AYX,Yi 证(AX,A=(4X)(4)=X(44)y =X=(x,) 当F=(时,有(AX,AX)=(X,X,即AX=X1,因此 COS(AX, AY (A, AY(X,Y coS(X, r) 1AX‖AY|X‖Y 所以A巧与AY夹角与XY的夹角相同 5 2021/2/20
2021/2/20 5 定理6 若列向量X,YRn在n阶正交矩阵A作用 下变换为AX, AYRn , 则向量的内积与长度及 向量间的夹角都保持不变, 即 (AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|, {AX,AY}={X,Y}. 证 (AX,AY)=(AX) T (AY)=XT (ATA)Y =XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因此 ( , ) ( , ) cos , cos , , | || | | || | AX AY X Y AX AY X Y AX AY X Y = = = 所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同