第七章常微分方程的数值解法 §1引言 只含有一个未知数的微分或导数的方程称为常微分方程 ( Ordinary Differential Equation),形如∫(x,y,y)=0 个常微分方程如果有解,则有无数个解,称为通解 ( General solution);其中的某一个确定的解称为特解 ( Particular Solution) 考虑初值问题 y(o)=yo
第七章 常微分方程的数值解法 §1 引言 只含有一个未知数的微分或导数的方程称为常微分方程 （Ordinary Differential Equation），形如 f x y y ( , , ) 0. = 一个常微分方程如果有解，则有无数个解，称为通解 （General Solution）；其中的某一个确定的解称为特解 （Particular Solution）. 考虑初值问题 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y = =
定理7.1(初值问题解的存在唯一性) 设f(x,y)在D={sxsb,-0<y<+上有定义且连续,同 时满足李普希兹条件 ∫(x,y)-∫(x,y)sLy-y|,(x,y,(x,y)eD 其中L为李普希兹常数,则初值问题(7.1)的解存在且唯一, 并且解y(x)连续可微。 定理72如果f(xy)满足李普希兹条件,则初值问题是稳定的。 仅有少数常微分方程可求解析解,大部分只能求数值解, 即求出在区间[ab上若干离散点a=x<x1<x2<…<xn=b 处函数值的近似值y1,y2,…,yn 本章介绍求解常微分方程(组)的常用数值方法
定理7.1（初值问题解的存在唯一性） 设f(x,y)在 上有定义且连续，同 时满足李普希兹条件 其中L为李普希兹常数，则初值问题（7.1）的解存在且唯一， 并且解y(x)连续可微。 D a x b y = − + { , } * * * f x y f x y L y y x y x y D ( , ) ( , ) , ( , ), ( , ) − − 定理7.2 如果f(x,y)满足李普希兹条件，则初值问题是稳定的。 本章介绍求解常微分方程（组）的常用数值方法。 仅有少数常微分方程可求解析解，大部分只能求数值解， 即求出在区间[a,b]上若干离散点 处函数值的近似值 0 1 2 n a x x x x b = = 1 2 , , , . n y y y
§2泰勒级数法( Taylor Series Method) 素勒展开式 h h y(x+h)=y(x)+y(x)+y(x)+…+y(x)+O(h) 对于初值问题 y'=f(,y) 考虑其解y=y(x)在初值点x0处的p阶泰勒多项式 y(x)=y(x)+1y(x)+n;y"(x)+…+n1y(x)
§2 泰勒级数法(Taylor Series Method) 泰勒展开式 对于初值问题 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y = = 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! 2! p h h h p p y x h y x y x y x y x O h + + = + + + + + 考虑其解y=y(x)在初值点x0处的p阶泰勒多项式 2 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! 2! p h h h p y x h y x y x y x y x + + + + + 1 y x( )y1 =
h y=y(x)+y(x)+y”(x)+…+myP(xn) 2! 2! 其中 y'(x)=f(x,y)= y(o=f(o, yo)=fo y(x)=+ ax a y→y(x)=(f+f 将上述各阶导数值代入*式,即得y1的值; 再以(x1y1为起点,建立x1点的 Taylor多项式,计算出y2如此 继续,依次通过 h, h p n+1 n 2 n 可求出数值解,y2…,y2
2 ( ) 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! 2! p h h h p y y x y x y x y x = + + + + 其中 0 0 y x y ( ) = y x f x y ( ) ( , ) = 0 0 ( ) ( ) x y y x f f f = + 0 0 0 0 y x f x y f ( ) ( , ) = ( ) f f y x y x y = + 将上述各阶导数值代入*式，即得y1的值； 再以(x1 ,y1 )为起点，建立x1点的Taylor多项式，计算出y2 ,如此 继续，依次通过 可求出数值解 1 2 , , , . n y y y 2 ( ) 1 1! 2! 2! p p n n n n n h h h y y y y y + = + + + +
例1取步长h=01,用二阶泰勒多项式求解初值问题 (0≤X≤ y(0)=1 解: ∴+ p) 2! 2! 由于y=y2,故有y”=(yy=2yy=2y3 于是,相应的二阶泰勒多项式的迭代式为 hh n+1 +y2+02y=yn+0.1y2+0001 2 由初值x=0,y0=1开始迭代,计算结果为
例1 取步长h=0.1,用二阶泰勒多项式求解初值问题 解： 由于 2 1 (0 ) (0) 1 2 y y x y = = 2 ( ) 1 1! 2! 2! p p n n n n n h h h y y y y y + = + + + + 2 y y = , 3 故有 y y y y y = = = ( ) 2 2 , 于是，相应的二阶泰勒多项式的迭代式为 2 2 3 1 2 1! 2! n n n n h h y y y y + = + + 2 3 0.1 0.001 n n n = + + y y y 由初值x0=0,y0=1开始迭代，计算结果为