计算方法学习指导 温师院数学与信息科学学院 2003.7
计 算 方 法 学 习 指 导 温师院数学与信息科学学院 2003.7
目录 第一章引论 1.1内容提要 1.2典型例题 第二章解线性方程组的直接法 2.1内容提要 2.2典型例题 第三章插值法与最小二乘法… 3.1内容提要 3.2典型例题 第四章数值积分与微分 4.1内容提要 4.2典型例题 第五章常微分方程数值解法 5.1内容提要 5.2典型例题 第六章逐次逼近法… 6.1内容提要 6.2典型例题
目 录 第一章 引论...........................................................................................................................1 1.1 内容提要...................................................................................................................1 1.2 典型例题................................................................................................................3 第二章 解线性方程组的直接法..............................................................................7 2.1 内容提要...................................................................................................................7 2.2 典型例题..............................................................................................................14 第三章 插值法与最小二乘法..................................................................................21 3.1 内容提要.................................................................................................................21 3.2 典型例题.................................................................................................................27 第四章 数值积分与微分.............................................................................................47 4.1 内容提要.................................................................................................................47 4.2 典型例题..............................................................................................................50 第五章 常微分方程数值解法..................................................................................63 5.1 内容提要.................................................................................................................63 5.2 典型例题..............................................................................................................68 第六章 逐次逼近法........................................................................................................79 6.1 内容提要.................................................................................................................79 6.2 典型例题..............................................................................................................84
第一章引论 1.1内容提要 1.绝对误差与绝对误差限 设x为准确值,x是x'的一个近似值,称ε=x-x为近似值x的绝对误差,简称误 差。如果有常数E使得l≤E,则称E为近似值x的绝对误差限,简称误差限。 2.相对误差和相对误差限 设x是准确值,x是x的一个近似值,称(x-x)/x为近似值x的相对误差,记作e。 在实际计算中,x是未知的,常以E=(x-x)/x作为相对误差。如果有常数En使得 ln≤6,(或问≤6,则称E,为相对误差限 3.有效数字 如果近似数x的绝对误差不超过其上某一位数字的半个单位,且该位数字到x的第一位 非零数字共有n位,则称x近似x时具有n位有效数字,简称x有n位有效数字。 定理11设x是x的近似值,它的表达式为x=±10×0a1a2…an,则x的有效数 字位数与x的相对误差之间有如下关系: (1)若x具有n位有效数字时,x的相对误差E满足 ×10-n (2)若x的相对误差E,满足ls ×10m时,x至少具有n位有效数字 4.数据误差的影响 给定函数y=f(x,x2)。设x1,x2分别为x,x2的近似值,则
第一章 引论 1.1 内容提要 1. 绝对误差与绝对误差限 1 * 设 x 为准确值， x 是 的一个近似值，称e 为近似值 * x = x − x * x 的绝对误差，简称误 差。如果有常数ε 使得 e ≤ ε ，则称ε 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 2. 相对误差和相对误差限 设 是准确值， * x x 是 的一个近似值，称 为近似值 * x * * (x − x)/ x x 的相对误差，记作 。 在实际计算中， 是未知的，常以 r e * x x )/ x * er = (x − 作为相对误差。如果有常数 使得 r ≤ ε r e (或 r ε r e ≤ )，则称 r ε 为相对误差限。 r ε 3. 有效数字 如果近似数 x 的绝对误差不超过其上某一位数字的半个单位，且该位数字到 x 的第一位 非零数字共有 n 位，则称 x 近似 时具有 位有效数字，简称 * x n x 有 n 位有效数字。 定理 1.1 设 x 是 的近似值，它的表达式为 ，则 * x n k x a1a2 La * = ±10 × 0. x 的有效数 字位数与 x 的相对误差之间有如下关系： ⑴若 x 具有 n 位有效数字时， x 的相对误差 r ε 满足 1 1 10 2 1 − + ≤ × n r a ε ⑵若 x 的相对误差 r ε 满足 1 1 10 2( 1) 1 − + × + ≤ n r a ε 时， x 至少具有 n 位有效数字。 4. 数据误差的影响 给定函数 y = f (x1 , x2 )。设 x1 , x2 分别为 的近似值，则 * 2 * 1 x , x
e(y)=f(x1,x2)-f(x1,x2) (x1,x2 x1-x) (x1x2 (xx1+(x)2 (y,互+9型五 由以上两式得 e(x1+x)≈e(x)+e(x),e(x1+x2)≈-x1-c(x)+-2-e,(x2) x1+x2 x1+x2 e(x1-x)≈e(x1)-e(x2),c(x1-x2)≈ (x1) M- e(x1x2)≈x2e(x1)+xe(x2),e,(x1x2)≈e,(x1)+e,(x2) x,-e(x,)_x, e(x2),e()≈e(x1)-e,(x2),x2≠0 5.设计算法时要注意的几个问题 (1)应用数值稳定的递推公式 设x x…是由递推公式 xn=F(xm1),n=1,2 (1.1) x给定 得到的。若x0有误差e0,则实际上只能得到 记en=xn-xn,n=1,2,…。如果存在不依赖于n的常数C使得 ≤Cl 则称递推公式(1.1)是数值稳定的。否则称为数值不稳定的。 (2)注意简化运算步骤,减少运算次数 (3)要避免相近数相减 (4)多个数相加,应先将绝对值较小的数相加之后,再依次与绝对值较大的数相加 (5)避免小数作除数和大数作乘数
2 2 1 2 1 1 1 2 2 * 2 2 1 2 1 * 1 1 1 2 1 2 * 2 * 1 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) e x f x x e x f x x x x x f x x x x x f x x e y f x x f x x ∂ ∂ + ∂ ∂ = − ∂ ∂ − + ∂ ∂ ≈ = − r r r e y x x f x x e y x x f x x y e y e y 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ∂ ∂ + ∂ ∂ = ≈ 由以上两式得 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 e x + x ≈ e x + e x ， ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 e x x x x e x x x x e x x r r r + + + + ≈ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 e x − x ≈ e x − e x ， ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 e x x x x e x x x x e x x r r r − − − − ≈ ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 e x x ≈ x e x + x e x ， ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 e x x e x e x r ≈ r + r ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 e x x x x e x x x e ≈ − ， ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 e x e x x x er ≈ r − r ， 0 x2 ≠ 5. 设计算法时要注意的几个问题 ⑴应用数值稳定的递推公式 设 x1 , x2 ,L, xn ,L是由递推公式 （1.1） = − = 给定 ( ), 1,2, 0 1 x x F x n n n L 得到的。若 x0 有误差e0 ，则实际上只能得到 = − = − = 0 0 0 1 ~ ), 1,2, ~( ~ x x e x F x n n n L 记 n n n e x x ~ = − ， n = 1,2,L。如果存在不依赖于 n 的常数 C 使得 0 e C e n ≤ ， n = 1,2,L 则称递推公式（1.1）是数值稳定的。否则称为数值不稳定的。 ⑵注意简化运算步骤，减少运算次数 ⑶要避免相近数相减 ⑷多个数相加，应先将绝对值较小的数相加之后，再依次与绝对值较大的数相加 ⑸避免小数作除数和大数作乘数 2
1.2典型例题 例11问3.142,3.141,二分别作为x的近似值各具有几位有效数字 7 解丌=3.14159265记x1=3.142,x2=3.141,x3=1 由x-x1=-00…知1×10-<x-x|≤1×10,因而x具有4位有效数字 2 由x-x2=000050知×103<x-x2|≤×10-2,因而x2具有3位有效数字。 2 由x-x3=-0.00126…知x103</221 775,×10-2,因而x3具有3位有效数字 例12已知近似数x有两位有效数字,试求其相对误差限。 解有效数字n=2,所以相对误差限为E,≤×10≤×10-21=5%。 例13已知近似数x的相对误差限为0.3%,问x至少有几位有效数字? 解设x具有n位有效数字,则0.3%3 ≤ 10-1 10002×1022×(a1+1) 所以1-n=-1,即n=2 例14为使√70的近似数的相对误差小于01%,问查开方表时,要取几位有效数字? 解设查表时取n位有效数字,由于8≤√70≤9,所以a1=8, 由公式E.≤×10-m≤0.1%知,只需取n=3。 例1.求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有4位有效数字,取 783=27982? 解方程的两个根为 x1=28+√783≈55.98,x2=28-√783= 28+√78355820.01786 注:此处若直接利用x2=28-√783≈28-27982=0018,则只能得到两位有效数字
1.2 典型例题 例 1.1 问 7 22 3.142, 3.141, 分别作为π 的近似值各具有几位有效数字？ 解 π = 3.14159265L，记 3.142 x1 = ， 3.141 x2 = ， 7 22 x3 = 。 由π − x1 = −0.00040L知 3 1 4 10 2 1 10 2 1 − − × < π − x ≤ × ，因而 x1具有 4 位有效数字。 由π − x2 = 0.00059L知 2 2 3 10 2 1 10 2 1 − − × < π − x ≤ × ，因而 x2 具有 3 位有效数字。 由π − x3 = −0.00126L知 3 2 10 2 1 7 22 10 2 1 − − × < π − ≤ × ，因而 x3具有 3 位有效数字。 例 1.2 已知近似数 x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解 有效数字 n = 2 ，所以相对误差限为 10 5% 2 1 10 2 1 1 2 1 1 ≤ × ≤ × = −n+ − + r a ε 。 例 1.3 已知近似数 x 的相对误差限为 0.3%，问 x 至少有几位有效数字？ 解 设 x 具有 n 位有效数字，则 1 1 2 10 2 ( 1) 1 2 10 1 1000 3 0.3% − × × + ≤ × = < a 所以1− n = −1，即 n = 2 。 例 1.4 为使 70 的近似数的相对误差小于 0.1%，问查开方表时，要取几位有效数字？ 解 设查表时取 n 位有效数字，由于8 ≤ 70 ≤ 9 ，所以 8 a1 = ， 由公式 10 0.1% 2 1 1 1 ≤ × ≤ −n+ r a ε 知，只需取 n = 3。 例 1.5 求方程 56 1 0 的两个根，使它们至少具有 4 位有效数字，取 2 x − x + = 783 = 27.982 ？ 解 方程的两个根为 x1 = 28 + 783 ≈ 55.98 ， 0.01786 55.982 1 28 783 1 2 28 783 ≈ ≈ + x = − = 注：此处若直接利用 x2 = 28 − 783 ≈ 28 − 27.982 = 0.018 ，则只能得到两位有效数字。 3