2、矩阵范数(矩阵的“大小”) 定义2设A为n阶方阵,若对应的非负实数A满足: (1)‖A|0;‖A‖|=0当且仅当A=0; (2)对任意实数a,‖aA|H=a|·A|; (3)对任意向量A,B∈R,‖A+B‖⊥A‖+‖B| (4)对任意向量A,B∈R"”,‖AB|S‖A‖‖B‖ 则称该实数A.矩阵A的范数
定义2 设A为n阶方阵，若对应的非负实数||A||满足： ( )|| || ; || || ; 1 0 0 0 A A A = = 当且仅当 ( ) , || || | | || ||; 2 对任意实数 A A = ( ) , , || || || || || ||; 3 n n A B R A B A B 对任意向量 + + 则称该实数||A||为矩阵A的范数。 2、矩阵范数 ( ) , , || || || || || || 4 n n A B R AB A B 对任意向量 （矩阵的“大小”）
矩阵范数和向量范数的相容性 设‖Xll.R"中的向量范数,‖A为R中的 矩阵范数,如果对于任意的X与A,满足 I AX las‖Al‖Xla 则称矩阵范数Al和向量范数‖Xll相容 注意:定义一种矩阵范数时,应使它与向量范数相容
设 为 中的向量范数， 为 中的 矩阵范数，如果对于任意的X与A，满足 || || n X R || || n n A R || || || || || || AX A X 矩阵范数和向量范数的相容性 则称矩阵范数 || || A 和向量范数 || || X 相容。 注意：定义一种矩阵范数时，应使它与向量范数相容
定理1设在R中给定了一种向量范数,对任一n阶 方阵A,令 A|=max‖AX‖ IX= 则由此定义的‖‖是一种矩阵范数,并且它与所给 定的向量范数相容。 称此矩阵范数为从属于给定向量范数的矩阵范数、矩阵 的算子范数或由向量导出的矩阵范数。 算子范数的一个必要条件:‖I|=1
定理1 设在 中给定了一种向量范数，对任一n阶 方阵A，令 则由此定义的 是一种矩阵范数，并且它与所给 定的向量范数相容。 n R || || 1 || || max || || X A AX = = || || 称此矩阵范数为从属于给定向量范数的矩阵范数、矩阵 的算子范数或由向量导出的矩阵范数。 算子范数的一个必要条件： || || . I = 1
Rn×n中常用的范数: 0—范数|A=max∑|an1|行范数 范数‖A1=max ∑lan|列范数 j i=1 算子范数 2—范数‖A4|2=√n、(4A)谱范数 F一范数 I=√n F (Frobenius) 1 SIAF.X
R n × n中常用的范数： 1 1 1 || || max | | n ij j n i A a = 1 —范数 = 2 —范数 ∞ —范数 2 max || || ( ) A A A = 1 1 || || max | | n ij i n j A a = = 列范数 行范数 F —范数 (Frobenius) 2 , 1 || || n F ij i j A a = = || || F I n = 算子范数 2 2 || || || || || || AX A X F 谱范数
例2计算矩阵A 的各种范数 解(1)4|=max∑|an|=max{+1,2+3}=5, I≤n (2川A=max∑|an|=max1+2,1+3}=4, ≤ (3AA「55 元-5-5 九I-AA|= 510 5元-10 1≈13.091,12≈1.910, x2-154+25=0, Al2=√am(A4)≈√3.091=3618, (4=、∑=√+1++1=15 l
例2 计算矩阵 的各种范数。 解 1 1 2 3 A − = 1 1 1 (2) || || max | | n ij j n i A a = = 2 max = || || ( ) A A A 1 1 (1) || || max | | n ij i n j A a = = = + + = max{1 2,1 3} 4, 5 5 (3) , 5 10 A A = 2 5 5 | | 5 10 15 25 0, I A A − − − = − − = − + = 1 2 13.091, 1.910, = 13.091 3.618, = + + = max{1 1, 2 3} 5, 2 , 1 (4) || || n F ij i j A a = = = + + + = 1 1 4 9 15