线性方程组AX=B的一般数值解法: 1.直接法:通过有限步精确运算求得方程组的 精确解(存在舍入误差)。 ·消元法 适用于低阶稠密方程组 主元素法 2迭代法:通过构造迭代方程组进行迭代 简单迭代法适用于大型稀疏方程组 ·赛德尔迭代法
线性方程组AX=B的一般数值解法： 1.直接法：通过有限步精确运算求得方程组的 精确解（存在舍入误差）。 • 消元法 • 主元素法 2.迭代法：通过构造迭代方程组进行迭代。 • 简单迭代法 • 赛德尔迭代法 适用于低阶稠密方程组 适用于大型稀疏方程组
第四章解线性方程组的迭代解法 §1向量范数、矩阵范数、谱半径及性质 1、向量范数:解析几何中二、三维向量的长度概念的推广 定义1对R中的任一向量X,按照一定规则确定一个数 与它对应,该数记为划,若X满足: ()X|0;‖X|=0当且仅当X=0;非负性 (2)对任意实数a,‖lcX|a|1·‖XY|;齐次性 (3)对任意向量X,Y∈R",‖X+Y|‖X‖+Y‖ 则称该实数Ⅻ.向量X的范数。 三角不等式
§1 向量范数、矩阵范数、谱半径及性质 第四章 解线性方程组的迭代解法 定义1 对Rn中的任一向量X，按照一定规则确定一个数 与它对应，该数记为||X||，若||X||满足： ( )|| || ; || || ; 1 0 0 0 X X X = = 当且仅当 ( ) , || || | | || ||; 2 对任意实数 X X = ( ) , , || || || || || || 3 n 对任意向量 X Y R X Y X Y + + 则称该实数||X||为向量X的范数。 1、向量范数：解析几何中二、三维向量的长度概念的推广 非负性 齐次性 三角不等式
P R中常用的范数:X1=∑|x i=1 Xl=x1|+1x2|+…+1xn=∑|x11-范数 X|2 2 C +xa +...+x 2 2—范数 =1 X|l=max{x1x2l…xn} maxl x 1≤i<n 范数 用记号·泛指任意一种范数
Rn中常用的范数： 1 1 2 1 || || | | | | | | | | n n i i X x x x x = = + + + = 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 || || n n i i X x x x x = = + + + = 1 2 1 || || max | |,| |, ,| | max | | n i i n X x x x x = = 1—范数 2—范数 ∞—范数 1 1 || || | | n p p p i i X x = = 用记号 || || 泛指任意一种范数
例1计算向量X=(1,-2,3),Y=(34,0)的各种范数 解‖X‖1=1+|-2|+|3=6 7 Xl2=yP2+(-2)+3=41l=5 Xl=max{1l-2,|3丹}=3|Y|l=4 说明: ①向量范数是衡量向量的长度(“大小”)的概 念 ②范数还可以率不向量间的距离以及向量的误差 绝对误差‖X-al‖‖X-al‖ 相对误差‖a‖ ‖X‖l
例1 计算向量X=(1,-2,3),Y=(3,4,0)的各种范数。 解 1 || || X 2 || || X || || X 1 || || Y 2 || || Y || || Y 说明： ① 向量范数是衡量向量的长度（“大小”）的概 念 ② 范数还可以表示向量间的距离以及向量的误差 • 绝对误差 • 相对误差 || || X − || || || || || || || || X X X − − 或 = + − + = | 1 | | 2 | | 3 | 6 2 2 2 = + − + = 1 ( 2) 3 14 = − = max | 1|,| 2 |,| 3 | 3 = 7 = 5 = 4
向量范数的性质: 性质1(连续性)设非负函数fx)叫1是R上的任一向量 范数,则f(X)关于X的任一分量x1x2…xn都连续。 性质2(等价性)对于R上的任意两种向量范数×|p, ×a,总存在正数c1和c2,使对R中一切X,都有 c1‖XsXl≤c2‖Xl 结论向量范数具有等价性,因此只需对一种范数进行讨 论即可,其它范数必有与之相似的性质
向量范数的性质： 性质1（连续性）设非负函数f(X)=||X||是Rn上的任一向量 范数，则f(X)关于X的任一分量x1 ,x2 ,...,xn都连续。 性质2（等价性）对于Rn上的任意两种向量范数||X||p , ||X||q，总存在正数c1和c2，使对Rn中一切X，都有 1 2 || || || || || || . p q p c X X c X 结论 向量范数具有等价性，因此只需对一种范数进行讨 论即可，其它范数必有与之相似的性质