第一讲微分与积分 2001年10月11日 1微积分的起源:牛顿与莱布尼兹 讲到微积分最要紧的两个人是牛顿( (Issac Newton,1642-1727)跟莱布尼 兹(〔 ottpied leibniz,1646-1716),微积分就是他们发现的.关于牛顿,有兴 趣的是他做这个工作是在学生的时候,也许比你们的岁数还要小,那个时候 也就是17世纪那个时候,欧洲瘟疫很厉害,欧洲死了很多人.他在英国剑桥 大学,因为瘟疫的关系,学校放假了,他就回家在家里做关于微积分的这些 工作.莱布尼兹是一个各方面都非常优秀的人,数学是他的兴趣的一部分 他的兴趣到宗教、法律各方面都有.他们两人之间有点争论,是因为争论谁 是微积分的发现者.这个争论是不幸的,也没有什么意义.实质上是莱布尼 兹头一个发表关于微积分论文的人,他的论文在1684年发表.牛顿做这个工 作早于莱布尼兹,而莱布尼兹发表论文早于牛顿,牛顿有了这个工作后没有 发表什么任何的东西.而莱布尼兹不但发表了这些东西,同时还引用了一些 符号,也许我们现在还在用.那么后来两个人有一个争论,大概都是跟数学 没有关系的人在那里造成的情况,这不是一个什么有意思的事情 2微积分基本定理 微积分是数学里头很重要的方面.至于什么是微积分呢?我想微分的发现 跟笛卡儿发现坐标非常有关系,因为笛卡儿发现坐标之后,数学主要的目 的就是研究函数,研究两组数的关系,有种种的关系.我们知道,函数有种 种,有线性的,非线性的,三角函数等种种函数,那么要怎么样地研究函数的 性质?我们都知道,函数可以用曲线来表示,如y=f(x)这条曲线.在这条 曲线的每点,如果它是可以微分的话,那么它在每点有个切线.微分就是把 这个曲线用它的切线来研究它的性质.所以也等于说它是把函数线性化,线
➅✘❨ ❻■➛è■ 2001★10Û11❺ 1 ❻è■④å❮: ✿î➛t❨✚û ❨t❻è■,✦✞➏④Ü➬⑤✹✿î(Issac Newton, 1642-1727)❐t❨✚ û(Gottpied Leibniz, 1646-1716), ❻è■Ò✹➷➣✕✙④. ✞➉✿î, ❿❧ ❯④✹➷✮❨➬Ó✯✹ó➛✠④✣⑧, ✎➂✞✜➣④➭❥↕✞❇, ➬✣⑧, ✎Ò✹17✲✖➬✣⑧, ◆➩➛❁✐➳✸, ◆➩❿ê✐õ⑤. ➷ó❪✮❏✘ ▲➛, ❖➃➛❁④✞ø, ➛❉✽✧ê, ➷Ò➹✛ó✛➦✮✞➉❻è■④❨❏ Ó✯. t❨✚û✹✘➬➮✵➪Ñ✿➒⑨❸④⑤, ❥➛✹➷④❧❯④✘❭■, ➷④❧❯t✌s✁✛❋➮✵➪Ñ❿. ➷➣Ü⑤❷✲❿➎♣❳, ✹❖➃♣❳① ✹❻è■④✕✙❱. ❨➬♣❳✹❳s④, ✎➊❿✤➃❄❇. ✧➓Þ✹t❨✚ û❃✘➬✕✱✞➉❻è■❳➞④⑤, ➷④❳➞ó1684★✕✱. ✿î✮❨➬Ó ✯➉t❨✚û, ✌t❨✚û✕✱❳➞➉✿î, ✿î❿ê❨➬Ó✯⑨➊❿ ✕✱✤➃⑧❬④➚Ü. ✌t❨✚û❳❜✕✱ê❨❏➚Ü, ✸✣↕❩⑦ê✘❏ ♥❘, ✎➂➲➣✙ó↕ó⑦. ➃⑨✉Ü➬⑤❿✘➬♣❳, ▲➊Ñ✹❐❥➛ ➊❿✞ø④⑤ó➦✆➘④❁❨, ❨❳✹✘➬✤➃❿❄❻④✴❁. 2 ❻è■äý➼➤ ❻è■✹❥➛➦❃✐➢✞④✵➪. ➊➉✤➃✹❻è■✑Ú➲✳❻■④✕✙ ❐❼☛✍✕✙✰✮✿➒❿✞ø, ❖➃❼☛✍✕✙✰✮❷⑨, ❥➛❒✞④ø ④Ò✹Ï➘❁❥, Ï➘Ü✜❥④✞ø, ❿➠➠④✞ø. ➲➣⑧✇, ❁❥❿➠ ➠, ❿✧✉④, ✿✧✉④, ➤♥❁❥⑧➠➠❁❥,➃✞✍➃ø➃Ï➘❁❥④ ✉➓? ➲➣Ñ⑧✇, ❁❥✱✶⑦▼✧✉✱✰, ➌y = f(x) ❨✣▼✧. ó❨✣ ▼✧④➎➎, ➌✯➬✹✱✶❻■④➏, ➃➬ó➎➎❿➬★✧. ❻■Ò✹➨ ❨➬▼✧⑦➬④★✧✉Ï➘➬④✉➓. ➘✶✎⑧➉⑨➬✹➨❁❥✧✉➎, ✧ 1
性化之后,可以加、减、乘、除,可以计算,因此可以得到数出来.数学要 是能够得到数出来,总是很要紧的.所以微分大概是说用曲线的切线来研 究曲线的性质.积分来得早了因为积分实际上大致讲起来,它是要计算面 积.那么假使平面上有一个区域,由曲线来做为边界,它的面积有多大,圆周 的面积有多大,这里的问题是积分的开始,也是积分重要的目的.因此,实 际上,积分的发展在微分之前.积分当时也没有一定的定义,积分就是有个 极限的观念.曲线所围城的区域一般想法子用直线来逼近,使得逼近的曲 线趋于你的边界的时候,就有个极限,就是这个区域的面积.所以,总而言 之,积分的发展在微分之前.中间这两个问题好象没有关系,但是其实这关 系非常的密切.积分差不多是微分的反运算.比方说,假使你求这条直线跟 两条垂线所成区域的面积,这两条垂线,一个是s=a,一个是s=x,你要去 算这个区域的面积,是个定积分/af(x)dx,(读作f(x)定积分从a→x).这 是当年莱布尼兹的符号,这个积分的符号记成这样,因为积分总是代表 个和,∫代表和(sum).假设面积一边由s=a的直线作边界,另一边是任意 的x,你把x这条直线移动的话,就得到一个r的函数,这个函数,我叫它A(x) 就是我图上的面积,是个积分,所以它是一个数目,与x有关,所以是x的函 数.这个函数跟曲线方程y=f(x)这个函数有密切关系.为什么有密切的关 系呢?很简单地看看,假如求A(x)=Jaf(x)dx的微分,求它的微分嘛,就是 说,求s=x,x+δx所围成的这个小条区域的面积.现在如果你拿δc除的话 我想很容易看出来了,这个极限就是∫(x).所以很容易看出来A(x)这个函数 的微分就是f(x),因此 dac 这就是微分同积分的基本的关系.这个关系说A(x)是一个积分,求它的微分 的时候,就得f(x).这个一般地,叫做微积分的基本定理.我从前在南开念微 积分的时候,始终不懂为什么这是一个微积分的基本定理,因为一般地把这 个关系式写成 f(a)d ls f(a)d o 形状左边积分是个不定积分 (indefinite integra),不定积分是个函数,左式 2
✉➎❷⑨, ✱✶✜✁❃✁➷✁ø, ✱✶✎➤, ❖✩✱✶③t❥ñ✉. ❥➛✞ ✹✕ê③t❥ñ✉, ✎✹✐✞➏④. ➘✶❻■▲➊✹⑨⑦▼✧④★✧✉Ï ➘▼✧④✉➓. è■✉③ê,❖➃è■✧✓Þ▲➋❨å✉, ➬✹✞✎➤➪ è. ➃✧✫➨➪Þ❿✘➬❑➢, ❸▼✧✉✮➃✣➂, ➬④➪è❿õ▲, ❐➧ ④➪è❿õ▲, ❨➦④➥☛✹è■④✌✮, ✎✹è■➢✞④ø④. ❖✩, ✧ ✓Þ, è■④✕✵ó❻■❷✄. è■❤✣✎➊❿✘➼④➼❇, è■Ò✹❿➬ ô✦④✡✬. ▼✧➘➀➶④❑➢✘➘✳✛✝⑦❺✧✉✆↔, ✫③✆↔④▼ ✧❏➉✜④✣➂④✣⑧, Ò❿➬ô✦, Ò✹❨➬❑➢④➪è. ➘✶, ✎✌Ó ❷, è■④✕✵ó❻■❷✄. ➙✲❨Ü➬➥☛P✻➊❿✞ø, ❜✹Ù✧❨✞ ø✿➒④➲★. è■❿❳õ✹❻■④✬ä➤. ✞✵⑨, ✧✫✜❋❨✣❺✧❐ Ü✣✒✧➘➘❑➢④➪è, ❨Ü✣✒✧, ✘➬✹s = a,✘➬✹s = x, ✜✞❱ ➤❨➬❑➢④➪è, ✹➬➼è■ R x a f(x)dx, (Ö✯f(x)➼è■✱a → x). ❨ ✹❤★t❨✚û④♥❘, ❨➬è■④♥❘✏➘❨ø, ❖➃è■✎✹❙✱✘ ➬❩, R❙✱❩(sum). ✧÷➪è✘✣❸s = a ④❺✧✯✣➂, ☞✘✣✹⑧❄ ④x, ✜➨x❨✣❺✧★➘④➏, Ò③t✘➬x④❁❥, ❨➬❁❥, ➲✇➬A(x), Ò✹➲❈Þ④➪è, ✹➬è■, ➘✶➬✹✘➬❥ø, ➛x❿✞, ➘✶✹x④❁ ❥. ❨➬❁❥❐▼✧✵➬y = f(x)❨➬❁❥❿➲★✞ø. ➃✤➃❿➲★④✞ ø✑Ú✐❀❭➃✗✗, ✧➌❋A(x) = R x a f(x)dx④❻■, ❋➬④❻■❧, Ò✹ ⑨, ❋s = x, x + δx ➘➀➘④❨➬❇✣❑➢④➪è. ✙ó➌✯✜üδxø④➏, ➲✳✐➂✹✗ñ✉ê, ❨➬ô✦Ò✹f(x). ➘✶✐➂✹✗ñ✉A(x)❨➬❁❥ ④❻■Ò✹f(x), ❖✩ dA(x) dx = f(x). (1.1) ❨Ò✹❻■✸è■④äý④✞ø. ❨➬✞ø⑨A(x)✹✘➬è■, ❋➬④❻■ ④✣⑧, Ò③f(x). ❨➬✘➘➃, ✇✮❻è■④äý➼➤. ➲✱✄ó✟✌✬❻ è■④✣⑧, ✮➟❳➹➃✤➃❨✹✘➬❻è■④äý➼➤, ❖➃✘➘➃➨❨ ➬✞ø✯❯➘ Z f(x)dx| b a = Z b a f(x)dx (1.2) ♦ç. ✫✣è■✹➬❳➼è■(indefinite integral), ❳➼è■✹➬❁❥, ✫✯ 2
是函数在b的值减去函数在a的值,等于这个定积分( definite integral).所以 从这个关系知道要求积分的话,只需要求一个函数,它的微分是已知的,就 是f(x),即微分是已知的.所以这样微分跟积分连起来了.互相的,积分等 于微分的反运三,有了f(x),要找一个函数,它的微分等于f(x),是个反运 因此微、积分有密切的关系. 多元微积分 上面讲的是一个变数的微积分.下面讲高维的,要多变数的.多变数的话, 有新的现象,是什么样的呢?我想对于多变数的,我们先不看别的,先看两 个变数的情形,x跟y,那么我们知道这个时候微分的观念的推广是偏微分 等于跟y分开求微分.积分的观念推广是重积分.二重积分( double integral) 是在2维的情形,在高维的情形是多重的.先看2维,2维的情形就有了区域 我们叫它△,那么它的边界叫它γ.所以积分的一个自然推广是一个2重积分, 普通积分把分成小段,然后取小段再乘上这个函数,求一个和.在2重积分 的时候,方法也是把区域分成小块,然后取每一小块的面积,在其上函数值 乘上它的面积,然后求它的和很不得了的,假使函数好的话,无论你如何圈 你的区域极限是一样的,所以这极限就是2重积分 I=///(a,v)dardy 在2维的时候,甚至高维的时候,一个重要的现象是,我们现在有2个变数x,y, 换变数怎么样?所以我现在换变数,换变数当然是在微积分里是很重要的 个办法,因为很多的问题是看你的变数是否选择得适当,有时换变数,问 题就立刻简单化了,就可以解决了.现在我换变数 (1.4) y=y(a',y) 其中,(x,y)是另外一组坐标.我们发现一个事实,在高维的时候微分的乘 法,我们写成 d r a dy,这是一个乘法,怎么乘呢?dr∧dy在微积分上是最微 妙的观点.什么叫微分?什么是dxc?这个是困扰了数学家几百年的事.怎么
✹❁❥ób④❾❃❱❁❥óa④❾, ⑧➉❨➬➼è■(definite integral). ➘✶ ✱❨➬✞ø⑧✇✞❋è■④➏, ➄❽✞❋✘➬❁❥, ➬④❻■✹✳⑧④,Ò ✹f(x), ý❻■✹✳⑧④. ➘✶❨ø❻■❐è■❐å✉ê. ➄★④, è■⑧ ➉❻■④✬ä➤, ❿êf(x), ✞■✘➬❁❥, ➬④❻■⑧➉f(x), ✹➬✬ä➤. ❖✩❻✁è■❿➲★④✞ø. 3 õ➹❻è■ Þ➪❨④✹✘➬★❥④❻è■. ✆➪❨➦➅④, ✞õ★❥④. õ★❥④➏, ❿❝④✙✻, ✹✤➃ø④✑Ú➲✳é➉õ★❥④, ➲➣☛❳✗✴④, ☛✗Ü ➬★❥④❁♦, x❐y, ➃➲➣⑧✇❨➬✣⑧❻■④✡✬④▼✒✹➔❻■, ⑧➉x❐y■✌❋❻■. è■④✡✬▼✒✹➢è■. ✓➢è■(double integral) ✹ó2➅④❁♦, ó➦➅④❁♦✹õ➢④. ☛✗2➅, 2➅④❁♦Ò❿ê❑➢, ➲➣✇➬∆, ➃➬④✣➂✇➬γ. ➘✶è■④✘➬✞❧▼✒✹✘➬2➢è■, ✃✴è■➨x■➘❇ã, ❧⑨❘❇ãò➷Þ❨➬❁❥, ❋✘➬❩. ó2➢è■ ④✣⑧, ✵✛✎✹➨❑➢■➘❇▲, ❧⑨❘➎✘❇▲④➪è, óÙÞ❁❥❾ ➷Þ➬④➪è, ❧⑨❋➬④❩. ✐❳③ê④, ✧✫❁❥P④➏, ➹❳✜➌❬❲ ✜④❑➢,ô✦✹✘ø④, ➘✶❨ô✦Ò✹2➢è■ I = Z Z f(x, y)dxdy. (1.3) ó2➅④✣⑧, ☎➊➦➅④✣⑧, ✘➬➢✞④✙✻✹, ➲➣✙ó❿2➬★❥x, y, ➛★❥✍➃øÚ➘✶➲✙ó➛★❥, ➛★❥❤❧✹ó❻è■➦✹✐➢✞④ ✘➬❮✛, ❖➃✐õ④➥☛✹✗✜④★❥✹❞➔✡③✼❤, ❿✣➛★❥, ➥ ☛Ò➪✴❀❭➎ê, Ò✱✶❽ûê. ✙ó➲➛★❥Õ ( x = x(x 0 , y0 ) y = y(x 0 , y0 ) (1.4) Ù➙, (x 0 , y0 )✹☞✐✘✜✰✮. ➲➣✕✙✘➬✴✧,ó➦➅④✣⑧,❻■④➷ ✛, ➲➣❯➘dx ∧ dy, ❨✹✘➬➷✛, ✍➃➷✑Údx ∧ dyó❻è■Þ✹✦❻ ➱④✡➎. ✤➃✇❻■Ú✤➃✹dxÚ❨➬✹❤✈ê❥➛✛✁➸★④✴. ✍➃ 3
样定微分的定义跟究竟什地是dx,这个很麻烦,可以做到很道意,不过把它 讲清楚需要有一定的时间.究以我马马虎虎说有一个dx.在dxr,dy这种微分 之间要建立乘法∧.什地叫dx∧dy?这个问题更复杂了,你如果dx,dy本身 是什地都不清楚,乘了以后是什地东西更是一个很微妙困难的问题.在这方 面有一个大的进步,就是引进很代数和很微分.假定dx∧dy这个乘法是反对 称 这个问题就清楚简单了.因为乘法如果是反对称的话,当然 dx adx=0.事 假上,因为dx∧dr=- dr a dx,究以 dx a dx=0,在反对称的乘法之下, 把 daa dy看成变数,因为乘法是反对称的,dx2=0,究以就没有高次的东西 了.这样得到的代数叫做很代数.这个代数很妙的.有一个立刻的结论:换 变数公式为 dx n dy= o(a, y) o(,yrrda'ndy 假使我们的微分用的是偏微分,究以 现在用很乘法一乘,dr'Adr'=dy∧dy=0.而dx∧dy/因为乘法是反对称 的,究以是瘟好乘以x=x(x,y),y=y(x,)的所可比a,这个符号是 所可比,是四个偏微分究成的行列式,究以 a(,ydra d(a, y) 这个瘟巧是我们重积分换变数的一个关系我们知道重积分要是换变数的 话,它应该乘上所可比.究以这个结论就是,对重积分的 Integra,即积分下 的式子,把积分号丢掉, Integra是一个微分多项式,乘法是反对称的.究以 假使多重积分有3维,4维到n维的空间,多重积分的 Integral可看成是很代 数的多项式,那地换变数就自然对了.这里头有一点微妙的地方,因为通 常,你要证明换变数的公式的时候,假定所可比是正的,不然的话,乘上所 可比的绝对值,使它是正的.这个是高维几何微妙的东西,就是空间有个
ø➼❻■④➼❇❐➘➽✤➃✹dx, ❨➬✐❢✫, ✱✶✮t✐✇❄, ❳✱➨➬ ❨✽ù❽✞❿✘➼④✣✲. ➘✶➲❥❥➁➁⑨❿✘➬dx. ódx, dy❨➠❻■ ❷✲✞❖➪➷✛∧. ✤➃✇dx ∧ dyÚ❨➬➥☛❮❹ìê, ✜➌✯dx, dyýü ✹✤➃Ñ❳✽ù, ➷ê✶⑨✹✤➃➚Ü❮✹✘➬✐❻➱❤✡④➥☛. ó❨✵ ➪❿✘➬▲④➓❩, Ò✹❩➓✐❙❥❩✐❻■. ✧➼dx ∧ dy❨➬➷✛✹✬é ➪, dx ∧ dy = −dy ∧ dx. (1.5) ❨➬➥☛Ò✽ù❀❭ê. ❖➃➷✛➌✯✹✬é➪④➏,❤❧dx ∧ dx = 0. ✴ ✧Þ, ❖➃dx ∧ dx = −dx ∧ dx, ➘✶dx ∧ dx = 0, ó✬é➪④➷✛❷✆, ➨dx ∧ dy✗➘★❥, ❖➃➷✛✹✬é➪④, dx2 = 0, ➘✶Ò➊❿➦✬④➚Ü ê. ❨ø③t④❙❥✇✮✐❙❥. ❨➬❙❥✐➱④. ❿✘➬➪✴④❼❳Õ➛ ★❥Ú✯➃ dx ∧ dy = ∂(x, y) ∂(x 0 , y0 ) dx0 ∧ dy0 . (1.6) ✧✫➲➣④❻■⑦④✹➔❻■, ➘✶ dx = ∂x ∂x0 dx0 + ∂x ∂y0 dy0 , dy = ∂y ∂x0 dx0 + ∂y ∂y0 dy0 . (1.7) ✙ó⑦✐➷✛✘➷, dx0 ∧ dx0 = dy0 ∧ dy0 = 0. ✌dx0 ∧ dy0❖➃➷✛✹✬é➪ ④, ➘✶✹➛P➷✶x = x(x 0 , y0 ), y = y(x 0 , y0 ) ④➘✱✞ ∂(x,y) ∂(x0 ,y0) , ❨➬♥❘✹ ➘✱✞, ✹➃➬➔❻■➘➘④qï✯, ➘✶ dx ∧ dy = ∂(x, y) ∂(x 0 , y0 ) dx0 ∧ dy0 . (1.8) ❨➬➛✜✹➲➣➢è■➛★❥④✘➬✞ø.➲➣⑧✇➢è■✞✹➛★❥④ ➏, ➬❛➈➷Þ➘✱✞. ➘✶❨➬❼❳Ò✹, é➢è■④Integral, ýè■✆ ④✯✝, ➨è■❘➾➠, Integral✹✘➬❻■õ✶✯, ➷✛✹✬é➪④. ➘✶ ✧✫õ➢è■❿3➅, 4➅tn ➅④✽✲, õ➢è■④Integral✱✗➘✹✐❙ ❥④õ✶✯, ➃➛★❥Ò✞❧éê. ❨➦❃❿✘➎❻➱④➃✵, ❖➃✴ ➒, ✜✞②Ò➛★❥④Ú✯④✣⑧, ✧➼➘✱✞✹t④, ❳❧④➏, ➷Þ➘ ✱✞④ýé❾, ✫➬✹t④. ❨➬✹➦➅✁❬❻➱④➚Ü, Ò✹✽✲❿➬ 4
可( Orietation),你转的时候,死2个相反转的方向.转的时候,假使改了方向 的话,成可比是负值,因此我们一个结论是多重积分的 Integral应该是一个外 代数多项式,是dr,dy的多项式,乘法是反对称,这样换变数完全可以对的 当然我只做了2维的例子.高维是很明显的,同样的外乘法是妙得很呐,是 不会死高次的,所以比较简单,平方一下,就是0 4外微分 上面讲了这么样一种关系,甚概这关系还更要好,我们讲高等微积分的时候, 个重要的定理是格林定理( Green' s Theorem).就是说,假使你死个区域, 在边界上的微分是可以变为区域上的微分,是一个一重积分和二重积分的 关系,这是个非常重要的关系.比方龚升教授死一本小书,讲到这个关系,他 认为这是整个微积分的基本定理,我是同意的.这样的关系现在通常写格林 定理的时候,优优是写成死积分 ab aA Adr +bdy=ar ay 如果死一个问题,死时候你可以只管 Integral,不要管其它,那么 Integral就是 把一个一次微分式变为两次微分式,这儿么变呢?公式定理是这样子:我就 引入一个外微分,我们刚才讲 d r A dy是一个多项式,是一个外代数的一个 式子,就象我们普通多项式一样,不但如此,对于这样的式子,我们还可以定 义它一个微分, d(Ad. + Bdy)=dan dx+dB ndy= Aydy A dr + Brd r A dy. (1.10) 叫外微分( Exterior differential calculus).外微分很简单,假设死Adx+Bdy, 它的微分就是微分它的系数,也就是微分函数.A与B是x,y的函数,所以 就微分A,B.A的微分就是Adx+A2dy,B的微分就是Bdx+Bdy,可 是Adx∧dx=0就得到Ady∧dx,第二项就得Bdx∧dy.但是因为乘法是 反对称的,所以就得(Bx-A),这是格林定理里头2重积分的系数,所以格林 定理把单次积分变成两次积分,它的 Integral实际上是个外微分.可以看出外 5
✺(Orietation),✜Ý④✣⑧, ❿2➬★✬Ý④✵✺. Ý④✣⑧, ✧✫➉ê✵✺ ④➏, ➘✱✞✹❿❾, ❖✩➲➣✘➬❼❳✹õ➢è■④Integral❛➈✹✘➬✐ ❙❥õ✶✯, ✹dx, dy④õ✶✯, ➷✛✹✬é➪, ❨ø➛★❥q❭✱✶é④, ❤❧➲➄✮ê2➅④➽✝. ➦➅✹✐Ò✗④, ✸ø④.✐➷✛✹➱③✐þ, ✹ ❳❒❿➦✬④, ➘✶✞✈❀❭, ➨✵✘✆,Ò✹0. 4 ✐❻■ Þ➪❨ê❨➃ø✘➠✞ø, ☎➊❨✞ø↕❮✞P, ➲➣❨➦⑧❻è■④✣⑧, ✘➬➢✞④➼➤✹➶õ➼➤(Green’s Theorem). Ò✹⑨, ✧✫✜❿➬❑➢, ó✣➂Þ④❻■✹✱✶★➃❑➢Þ④❻■, ✹✘➬✘➢è■❩✓➢è■④ ✞ø, ❨✹➬✿➒➢✞④✞ø. ✞✵×☞s●❿✘ý❇❱, ❨t❨➬✞ø, ➷ ⑨➃❨✹r➬❻è■④äý➼➤, ➲✹✸❄④. ❨ø④✞ø✙ó✴➒❯➶õ ➼➤④✣⑧, ⑨⑨✹❯➘❿è■, Z γ Adx + bdy = (∂B ∂x − ∂A ∂y )dxdy. (1.9) ➌✯❿✘➬➥☛, ❿✣⑧✜✱✶➄☛Integral, ❳✞☛Ù➬, ➃IntegralÒ✹ ➨✘➬✘✬❻■✯★➃Ü✬❻■✯, ❨✍➃★✑ÚÚ✯➼➤✹❨ø✝: ➲Ò ❩➐✘➬✐❻■, ➲➣➛❜❨dx ∧ dy ✹✘➬õ✶✯, ✹✘➬✐❙❥④✘➬ ✯✝, Ò✻➲➣✃✴õ✶✯✘ø,❳❜➌✩, é➉❨ø④✯✝, ➲➣↕✱✶➼ ❇➬✘➬❻■, d(Adx + Bdy) = dA ∧ dx + dB ∧ dy = Aydy ∧ dx + Bxdx ∧ dy. (1.10) ✇✐❻■(Exterior differential calculus). ✐❻■✐❀❭, ✧÷❿Adx + Bdy, ➬④❻■Ò✹❻■➬④ø❥, ✎Ò✹❻■❁❥. A➛B✹x, y④❁❥, ➘✶ Ò❻■A, B . A④❻■Ò✹Axdx + Aydy, B④❻■Ò✹Bxdx + Bydy, ✱ ✹Axdx ∧ dx = 0 Ò③tAydy ∧ dx, ➅✓✶Ò③Bxdx ∧ dy. ❜✹❖➃➷✛✹ ✬é➪④, ➘✶Ò③(Bx − Ay), ❨✹➶õ➼➤➦❃2➢è■④ø❥, ➘✶➶õ ➼➤➨❭✬è■★➘Ü✬è■, ➬④Integral✧✓Þ✹➬✐❻■. ✱✶✗ñ✐ 5