第八章函数逼近 拟解决的问题: 1.计算复杂的函数值 2.已知有限点集上的函数值,给出在包含该点集的 区间上函数的简单表达式 函数逼近一一对函数类A中给定的函数f(x),记作f(x)∈A, 要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数(x)∈B, 使p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下最小。 本章只讨论逼近函数为m次的代数多项式pmn(x)的情形。 逼近问越函数逼近 曲线拟合
第八章 函数逼近 拟解决的问题： 1. 计算复杂的函数值 2. 已知有限点集上的函数值，给出在包含该点集的 区间上函数的简单表达式 函数逼近——对函数类A中给定的函数f(x)，记作 要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数 使p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下最小。 f x A ( ) , p x B ( ) , 逼近问题 函数逼近 曲线拟合 本章只讨论逼近函数为m次的代数多项式pm(x)的情形
P R中向量的范数:X1=∑|x i=1 Xl=x1|+1x2|+…+1xn=∑|x11-范数 X|2 2 C +xa +...+x 2 2—范数 =1 X|l=max{x1x2l…xn} maxl x 1≤i<n 范数 用记号·泛指任意一种范数
Rn中向量的范数： 1 1 2 1 || || | | | | | | | | n n i i X x x x x = = + + + = 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 || || n n i i X x x x x = = + + + = 1 2 1 || || max | |,| |, ,| | max | | n i i n X x x x x = = 1—范数 2—范数 ∞—范数 1 1 || || | | n p p p i i X x = = 用记号 || || 泛指任意一种范数
度量函数之间的距离的概念 对∫(x)∈C|a,b,定义以下三种函数范数 X=x1|f=(x)t1-范数 Xl=(∑x2r=(mr(xt)22-范数 i=1 I xll=max xi)lf max(x o一范数 1≤i≤nl x∈a,b 两函数f(x)29(x)之间的距离可以用|f-!来度量。 f(x)与逼近函数Pn(x)之间的距离可以用|fpml来度量
两函数f(x),g(x)之间的距离可以用 ||f-g|| 来度量。 度量函数之间的距离的概念—— 对 f x C a b ( ) [ , ], 定义以下三种函数范数 1 || || ( ) b a f f x dx = ( ) 1 2 2 2 || || ( ) b a f f x dx = [ , ] || || max ( ) x a b f f x = 1—范数 2—范数 ∞—范数 f(x)与逼近函数pm(x)之间的距离可以用 ||f-pm|| 来度量。 1 1 || || | | n i i X x = = 1 2 2 2 1 || || n i i X x = = 1 || || max | | i i n X x =
在(x)-P(x)=([(x)-P2(x)dy 或fxX)-(X)=∑[f(x)-P2(x)(离散情形下) i=0 度量意义下的函数逼近方法称为最佳平方逼近或最小平方逼近、 最小二乘法,其中X=(x,x1,…xn) 在‖f(x)-Pn(x)|=maxf(x)-Pn(x) x∈a,b 度量意义下的函数逼近方法称为最佳一致逼近
在 度量意义下的函数逼近方法称为最佳一致逼近。 [ , ] || ( ) ( ) || max ( ) ( ) m m x a b f x P x f x P x − = − 在 或 度量意义下的函数逼近方法称为最佳平方逼近或最小平方逼近、 最小二乘法，其中 ( ) 1 2 2 2 || ( ) ( ) || ( ) ( ) b m m a f x P x f x P x dx − = − 离散情形下 1 2 2 2 0 || ( ) ( ) || ( ) ( ) ( ) n m i m i i f X P X f x P x = − = − 0 1 ( , , ). X x x x = n
§1离散情况下的最小平方逼近 问题提出: 已知点列(xy)(i=0,1,2,,n)。确定参数aa1y,am, 使函数g(x)=a090+a191+…+anyn是上述点列的最小 平方逼近函数。 (本章只讨论g(x)为代数多项式Pm(x)=a+aⅸ1,+anXm) 分析: 1.m≤n 2.如果m=n,上述问题即为插值问题 3.如果m<n,考虑使误差函数E取最小值,其中 E圳42=∑[(x)-gx
§1 离散情况下的最小平方逼近 问题提出： 已知点列(xi ,yi ) (i=0,1,2,…,n)。确定参数a0 ,a1 ,…,am， 使函数 是上述点列的最小 平方逼近函数。 （本章只讨论g(x)为代数多项式Pm(x)=a0+a1x1+…+amxm） 分析： 1. m n 2. 如果m=n，上述问题即为插值问题 ≤ 3. 如果m<n，考虑使误差函数E取最小值，其中 2 2 2 0 || || ( ) ( ) n i i i E f x g x = = = − 0 0 1 1 ( ) m m g x a a a = + + +