s2 Laplace变换的性质与计算复变函数本讲介绍拉氏变换的几个性质，它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为方便起见，假定在这些性质中，凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件，并且把这些函数的增长指数都统一地取为c.在证明性质时不再重述这些条件1.线性性： L[f(t)]= F(s)(i=1,2),则L[aifi(t) + α2f2(t)] = a,F(s) +a,F (s),b E(s) + b, E (s)/=b f (t) + b, f.(t)u
11 §2 Laplace变换的性质与计算 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1. ( ) ( ) ( 1,2), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) i i f t F s i a f t a f t a F s a F s b F s b F s b f t b f t − = = + = + + = + 线性性：L 则 L L 本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏 变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假 定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满 足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函数 的增长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重 述这些条件
例3 求,f(t)=sinkt (k为实数）的拉氏变换sin kte-st dtC[sin kt] = (osF(ejk-e-jk)e-sdt+8(.(s+jk)tdte-(s-jk)dt --eJok s? + k?2(s-jks+jkkS同理可得C[sin kt]L[cos kt]+k
12 例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换 ( ) 0 j j 0 ( j ) ( j ) 0 0 2 2 [sin ] sin e d 1 (e e )e d 2 j j e d e d 2 j 1 1 2 j j st kt kt st s k t s k t kt kt t t t t k s k s k s k + − + − − + + − − − + = = − − = − − = − = − + + L 2 2 [sin ] k kt s k = + L 同理可得 2 2 [cos ] s kt s k = + L
C[f(D]微分性质：℃),则复变函数L[f'(t)]= s F(s)- f(O))(Res>c)c[c(n)(t)= s"F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(O) -..- (n-1)(0)(Res >c)(n = 1,2,..)特别当 (0)= J(0)=…= (n-1)(0)=0 时，有L[(m (t)= s"F(s)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程u
13 2. 微分性质 ( : ) ( ) ( ) ( ) Re , ( ) ( ) (0) Re f t F s s c f t s F s f s c = = − L 则 L ( ) ( ) ( ) 1 2 ( 1) ( ) ( ) (0) (0) (0) 1,2, Re n n n n n f t s F s s f s f f n s c − − − = − − − − = L 此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程. 特别当 f f f (0 0 0 0 ) = = = = ( ) (n−1) ( ) 时，有 ( ) ( ) ( ) n n f t s F s = L