2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 例14求函数y= 的定义域 (x+1)1-e 【解】欲使该函数有意义,自变量必须满足 1-c2x>0且x≠-1,由此得定义域为x<0且x≠-1 inx+p(x)x≥0 1x<1 例1.5设∫(x) p(x)rsO’o(x)= 求f(x)的表达式 sinx十 x≥1 【解】考虑(x)表达式由两段给出,在∫(x)的表达式中,当x≥0时,所含须分为两段, 即0≤x<1与x≥1,而当x<0时,自然有x<1,对所含px)只须一段表达式。因此 可以得到 sinx+1x≥1 f(x)={sinx-10≤x≤1 sIn x 10x-10-x 例16求函数y10+10-x 的值域 【解】直接求该函数的值域不很方便。让我们来考虑其反函数的定义域 102x1可解出1021+y,x= 02x-1 由y 换记号记为 J≈11+x,求此函数的定义域。应满足1+x70,即 21-x x +x>0 1+x<0 或 x>0 1-x<0 第二组不等式无解,第一组不等式的解为x<1,因此所求 函数的值域为y∈(-1,1)。 1.2.5极坐标方程表达的函数 用极坐标表达一个函数的常用记号是P=p(q),(q1≤≤2,p≥0) 极坐标表达的函数相应曲线上的点(x,y)与极坐标变量,p之间的关系为 9s9 y=psin p 例1.7建立曲线(x-a)2+y2=a2(a>0)与x=3的极坐标方程。 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 例 1.4 求函数 x x e y 2 1 1 1 + − = ( ) 的定义域。 【解】欲使该函数有意义，自变量必须满足 1 0 2 − > x e 且 x ≠ −1，由此得定义域为 x < 0 且 x ≠ −1。 例 1.5 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + < + ≥ = 0 2 1 0 x x x x x x f x sin ( ) sin ( ) ( ) φ φ ， , 求 的表达式。 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < = 1 1 1 1 ( ) x x φ x f (x) 【解】考虑φ( x)表达式由两段给出，在 的表达式中，当 时，所含须分为两段， 即 与 ，而当 时，自然有 f ( x) x ≥ 0 0 ≤ x < 1 x ≥ 1 x < 0 x < 1，对所含φ( x)只须一段表达式。因此 可以得到 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − < − ≤ ≤ + ≥ = 0 2 1 1 0 1 1 1 x x x x x x f x sin sin sin ( ) 例 1.6 求函数 x x x x y − − + − = 10 10 10 10 的值域。 【解】直接求该函数的值域不很方便。让我们来考虑其反函数的定义域。 由 10 1 10 1 2 2 + − = x x y 可解出 y x y − + = 1 1 102 ， y y x − + = 1 1 2 1 lg ， 换记号记为 x x y − + = 1 1 2 1 lg ，求此函数的定义域。应满足 0 1 1 > − + x x ，即 ⎩ ⎨ ⎧ − > + > 1 0 1 0 x x 或 第二组不等式无解，第一组不等式的解为 ⎩ ⎨ ⎧ − < + < 1 0 1 0 x x x < 1，因此所求 函数的值域为 y ∈ (−1, 1) 。 1.2.5 极坐标方程表达的函数 用极坐标表达一个函数的常用记号是 ( ), ( , 0) ρ = ρ ϕ ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ρ ≥ 极坐标表 达的函数 相应曲线 上的点 (x, y) 与极坐标变 量 ϕ, ρ 之间的 关 系 为 ( 1 2 sin cos ϕ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = y x ) 例 1.7 建立曲线( ) ( 0)与 2 2 2 x − a + y = a a > x = 3的极坐标方程。 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：6 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 【解】将将直角坐标的极坐标式代入曲线方程(x-a)2+y2=a2(a>0),经化简可得 p=2 a cos y,(-≤q≤x) 注:事实上,由作图,利用三角函数可立即得到上述结果 读者可将曲线x2+y2-2ay=0(a>0)转化为极坐标方程p=2 a g,(0≤g≤x)。 又如x=3的极坐标方程p oS p 例18设∫(x)为连续函数,d(x)为正定偶函数,则f(y(x)为() (A)奇函数。(B)偶函数,但未必是定号函数。(C)正定偶函数。(D)不定 【解】答案为(B)。连续函数以偶函数为中间变量生成的复合函数仍为偶函数。 例1.10考察下列函数的奇偶性 ()(x)=lm(x+√x2+1);(2)y(x)=f(x) 其中f(x)为奇函数 2x+12 e +e (3)f(x) (奇) 【解】(1)f(-x)=ln(-x+√x2+1)=-lm(x+√x2+1)=-f(x),因此f(x)为奇 (2)只须考察g(x)= 2x+17的奇偶性 2-x+122x+1222x+1 y(x)为两个奇函数乘积,必为偶函数。 (3)显然有∫(-x)=-f(x),因此∫(x)为奇函数。 例1.11设f(x)为(-∞,∞)上的奇函数.已知∫(1)=a,Vx∈(-∞,∞)有 f(x+2)=f(x)+f(2 (1)求f(5) (2)若f(x)为周期函数,且周期T=2,求常数a 【解】(1)令x=3,∫(5)=∫(3)+f(2)。再令x=-1,得到∫(1)=f(-1)+f(2), 又因f(x)为奇函数,所以∫(2)=2f(1)=2a,f(3)=∫(1)+f(2)=3a,于是 刘坤林编水木艾迪考研培训网 Kftwww.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 【解】将将直角坐标的极坐标式代入曲线方程( 0 ) ( )，经化简可得 2 2 2 x − a + y = a a > ) 2 2 2 cos , ( π ϕ π ρ = a ϕ − ≤ ≤ . 注：事实上，由作图，利用三角函数可立即得到上述结果。 读者可将曲线 2 0 ( 0) 转化为极坐标方程 2 2 x + y − ay = a > ρ = 2a sinϕ, (0 ≤ ϕ ≤ π ) 。 又如 x = 3的极坐标方程 2 2 , cos 3 π ϕ π ϕ ρ = − < < 。 例 1.8 设 f (x) 为连续函数, φ(x) 为正定偶函数, 则 f (φ(x)) 为（ ）。 (A) 奇函数。(B) 偶函数, 但未必是定号函数。(C) 正定偶函数。 (D) 不定。 【解】答案为(B)。连续函数以偶函数为中间变量生成的复合函数仍为偶函数。 例 1.10 考察下列函数的奇偶性 (1) ( 1 ) ln( ) 2 f x = x + x + ;(2) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 2 1 2 1 1 ( ) ( ) x y x f x ,其中 f (x) 为奇函数. (3) x x x x e e e e f x − − − + ( ) = ,(奇) 【解】（1） f (−x) = ln(−x + x + 1) = −ln( x + x + 1) = − f (x) 2 2 ，因此 为奇 函数。 f ( x) （2）只须考察 2 1 2 1 1 − + = x g(x) 的奇偶性。 g( x) g(x) x x x x = − + − = − + − = + − = − 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 ， y( x) 为两个奇函数乘积，必为偶函数。 （3） 显然有 f (− x) = − f ( x) ，因此 f ( x) 为奇函数。 例 1.11 设 f (x) 为(−∞,∞) 上的奇函数. 已知 f (1) = a,∀x ∈ (−∞,∞) 有 f ( 2 x + 2) = f (x) + f ( ) 。 (1) 求 f (5) ; (2) 若 f (x) 为周期函数,且周期T = 2 ,求常数a 。 【解】（1）令 x = 3， f ( 2 5) = f (3) + f ( ) 。再令 x = −1 ，得到 f ( 2 1) = f (−1) + f ( )， 又因 f ( x) 为奇函数，所以 f (2) = 2 f (1) = 2a ， f (3) = f (1) + f (2) = 3a ，于是 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：7 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805