(即 lim S,= S),则称数项级数(1)收敛,S称为数n→00项级数(1)的和，记作S = u, + u, ... u, ., 或 $- Zu..n=1若{(S是发散数列，则称数项级数(1)发散例1讨论等比级数（也称几何级数）(3)a +aq +aq' +... + aq" +...的收敛性(a0)后页返回前页
前页 后页 返回 → lim n = n (即 S S ), 则称数项级数(1)收敛, S 称为数 项级数(1)的和,记作 1 2 1 , . n n n S u u u S u = = + + + + = 或 例1 讨论等比级数(也称几何级数) + + + + + 2 (3) n a aq aq aq 的收敛性(a≠0). 若 { } Sn 是发散数列,则称数项级数(1)发散
解 q1时,级数(3)的第 n 个部分和为.1-q"S, = a + aq +...+ aq"-l = a1-q因此1-q‘. 此时级(i) 当q<1时, lim S, = lim an1-qn-→001-qn->a数(3)收敛,其和为1-1(ii)当q>1时, lim S,=o,此时级数(3)发散后页返回前页
前页 后页 返回 解 q≠1时, 级数(3)的第 n 个部分和为 1 1 . 1 n n n q S a aq aq a q − − = + + + = − 因此 1 (i) 1 , lim lim . 1 1 n n n n q a q S a → → q q − = = − − 当 时 此时级 数(3)收敛,其和为 − . 1 a q → (ii) 1 , lim , (3) . = n n 当 时 此时级数 发散 q S
(i)当q=1时,S,= na,级数发散. 当q=-1时,S2k = 0, S2k+1 = a, k = 0,1,2,.…,级数发散.综合起来得到:q<1时,级数(3)收敛;≥1时,级数(3)发散例2讨论数项级数1(4)1.22.3n(n +1)的收敛性。解级数(4)的第n个部分和为后页返回前页
前页 后页 返回 (iii) 1 , , . = = n 当 时 级数发散 q S na 当 时 q = −1 , 2 = 0, S k 2 1 , 0,1,2, , . S a k k+ = = 级数发散 综合起来得到: q 1 , (3) ; 时 级数 收敛 q 1 , 时 级 数(3)发散. 例2 讨论数项级数 + + + + + 1 1 1 (4) 1 2 2 3 ( 1) n n 的收敛性. 解 级数(4)的第n个部分和为