例1.验证方程x2+y2-1=0 在点(0,1)某邻域 可确定一个导数连续的隐函数y=∫(x),并求 dy d2y xx=0’dx2x=0 解：令F(x,y)=x2+y2-1 则 ①F=2x, F,=2y 连续， ②F(0,1)=0, ③F,(0,1)=1≠0 由定理1可知，在x=0的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数y=f(x),且 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 验证方程 在点(0,1)某邻域 可确定一个导数连续的隐函数 d 0 d , d 0 d 2 2 = x x = y x x y 解: 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − F(0,1) 0, = F 2x, x = 连续 , 由 定理1 可知, (0,1) 1 F y = 0 ① 导的隐函数 则 F y y = 2 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求
Fx 2x koy-i 0 d'y dx2x=0 P-xy' X=0 y=1 y'=0 =-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
d 0 d x x = y = 0 = − F x F y x = − 2 y 2x x = 0, y =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d 0 d 2 2 x x = y ( ) d d y x x = − 2 y y − xy = − = −1 0 1 0 = = = y y x
定理2.若函数F(x,y,满足 ①在点P(xo,y0,z0)的某邻域内具有连续偏导数， ②F(x0,0,20)=0 ③F(x,0,20)≠0 则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0)某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数z=f(x,y),满足20=∫(x0,y0), 并有连续偏导数 8x F’ayF 定理证明从略，仅就求导公式推导如下 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2 . 若函数 F(x, y,z) z y z x F F y z F F x z = − = − , 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ( , , ) 0 F x0 y0 z0 = ( , , ) 0 Fz x0 y0 z0 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束