且,他们还对=33构造出了多于500000个新的非平凡的、单的 5-设计.L.' feirliuk一篇尚未发表的论文 Non-trivial t-designs without repeated blocks exist for all t"中,对所有t都构造出了非 平凡的、咩的!设计,这就解决了一直悬而未决的!设计的存在 题 关于t-设计的其他一些结果可以参看 Wilson i9,10Kage ama和 Hedayat [1,21等, 下面转丽讨论按对平衡设计 定义11.62.设一{B1,B2,…,B}是元集S上的 个区组设计,且K={句,…;m}.如果满足条件 (1)B;∈K(1≤≤b); (2)对S的任一个二元子集,包含该子集的,6中区组的个 数是一个不依赖于该二元子集的具体选择的常数; 则称是集S上的一个按对平衡设计.如果(2)中的常数是, 则把这样的按对平衡设计记为 PBD(K;λ;z) PBD({,……,m};A君) 这里PBD是“ pairwise balanced design”的缩写,当K={k} 时,简记为PBD(;4;t) 这个概念很容易推广到K包含无限多个正整数的情形 在第十八章中将看到,按对平衡设计在正交拉丁方的理论发 展中起着重要的作用;在第九章中还将看到它对三连系和可分 解的(b,,r,,2)-设计的存在性问题的研究有着重要的意义 §117其他设计简介 由于实际应用和论发展的需要,除了以上几节所述的设计 类型外,还有很多有价值和有意义的设计,下面粗略介绍其中 些.它们是: Youden设计,Room设计,称重设计,幻方,以及覆 23·
盖和填充等 首先介绍 Youden于1937年引人的一个设计 定义11.71。设Y是集[l,t]上的一个×矩阵,其每 行都是[1,v]的一个全排列2且每一列中无二元相同.把第i列 的个元成的饣子集记为B;(1≤i≤t).如果梁:={B, B2,…,B}是[1,t]上的一个(v,,λ)对称设计,则称Y是 一个(v,,1)- Youden矩阵,又称为(v,,)- Youden设计, 自然在定义11.71中,可以把[1,]换为任一卩元集 例如,当(#,k,4)=(7,3,1)时, 4567123 就是一个(7,3,1)- Youden矩阵 关于 Youden设计的存在性和构造方法,有 定理11.71若存在(,k,4)-对称设计,则存在(,,) Youden设计.从一个(v,k,λ)-对称设计来构造一个(,饣,λ) Youden设计的方法在下面的证明中给出 证明.设图={B1,B2,…,B}是一个[1,]上的(, ,)-对称设计.1≤i1<n<∴<语≤对每…s∈[1,] 它最多在B1,B1,……,B,n的饣个中出现,而∑B;= 故∪B;至少含有 h个相异元,由定理51,1,集系存 在相异代表组.设y1;y3,…,y1是B,B2, 相异代表组因而,y12,……,點是[1,]的一个全排列,故可 把它取作Y的第一行.记B=B1\{u}(1≤i≤).今考虑 闭={B1,B2,…,B}.因|B〓饣-1,而[1,]的任一元 5最多在B}……,B的k-1个中出现,故∪B至少含有 1)=h个相异心,因此,集系劣存在相异代表组,设m
y2,…,y2是Bi,B2,……,B的相异代表组,把它取作Y的第 二行.类似地重复进行下去,最后可得一个 Youden矩阵,证毕, 事实上,上面的证明过程提供了更多的信息,即有 定理1172.从一个(v,饣,λ)-对称设计至少可以均造出 ∏(;!)个不同的(,个,4)- Youden设计 证明,由定理512知,在定理11.71的证明过程中出现的 y1,y12,…,y1。有 ∏(-1) (一1)〓! 个选取方法来得到它,而y1,ya2……,y有 II ((饣一1)-)=(質一1)! 个方法来得到它,如此等等,故有定理的结论.证毕 关于 Youden设计,就介绍到这里,对此有兴趣的读者,清参 看 Youden{1],Smih和 Hartley L1l,以及 Raghavarao[1-3] 现在来介绍Rom1设汁 设卵是由集[0,2u-1]的全部二元子集以及空所组 成的簇,设R是≌上的个(2-1)阶矩阵 R=(R1)(1≤t,≤2-1) (117.1) 定义11.7.2.如果(11.7.1)中的R满足条件 (1)梁\{&}的每一元恰在R中出现一次; (2)[0,2-1]中的每一元都在R的每一行的诸子集中恰 好出现一次,也都在R的每一列的诸子集中恰好出现 次 则称R是一个2-1阶Ron方,或称R是一个2阶Rom设 计 Roαm方这一课题最早由E.C. Howell于1897年从桥牌比 赛的角提出加以研究(参见 Denes和 Keedwel[]).Rom不
知这一情形,于1955年重新提出这一课题.此后, Archbold和 Johson13,K.R.Shah找到了它在统计学中的应用, Bruck:2)和 Lindner研究了E同拟群的联系,O' Shaughnessy1给出了它同 Steiner三连系的关联, Nemeth,W.D.Wall2等讨论了它同 图的因子分解之间的有关问题 自然,在关于Roon方的研究中,它的存在性和构造方法有 着重要的地位和作用.有许多作者在这方面作了很多工作(可参 看 Denes和 Keedwel[1],W.D. \vallis,A.P. Street和J S. Wallis[ 1], Mullin FI Stanton [1--31, W.D. Wallis[31) 关于存在性问题,有以下重要结果 定理11.73.存在2t-1阶Room方的充要条件是 2 这一结果经过许多作者的努力才得到(参看上面所引的文 献),最后一步是由W.D.Wlis)完成的 下面介绍称重设计 Yates于1935年注意到,在称若干件物体的重量时,为提高 所称得的物体的重量的精确度,不要一件件物体单独地去称而是 组物体称一次,称适当次数后再求解各物体的重量.例如,当要 在一架已调好的天平上称五件物体的重量时,可以把其中任四件 在一起称,于是可得 wr 2 t1+l2+ 十珐十 十3t十s5=y4, 这里w;表第i件物体的重量,y是天平中法码的读数(1≤i≤ 5),由上面五个方程即可解得w(1≤i≤5) 一般地,考虑到第i件物体可以放在天平的左右二盘的任一 中,故有以下定义 定义11.7.3.用b次称重来称v件物体时,记
1,在第:次称重时,第j件物体被放在天平的左盘中, ={-1,在第i次称重时,第i件物体被放在天平的右盘中, 0。在第i次称重时,第件物体未被放在天平的盘中 那么,b×矩阵A(;)就叫做一个称重矩阵或称重设计 设法码只在右盘中出现,且第:次称重时所用的法码的读数 是y(1≤i≤b),记Y=(y,y;…,yb).把第j件物体的 真实重量记为t;(1≤f≤t),且记W=(n+,2,…,w)2 那么 Y-AW+E, (11.7.2) 这里E=(e1,e2,…,t),c;是第i次称重时的误差(1l≤i≤ b).今假定,E的诸分曩是随机变量,均值为零,离差矩阵为 W的最小二乘法估计量W合 (AAW=AY (1173) 由此可知,AA是否为奇异矩阵,这对问题的影响很大.当ArA 是非奇异矩阵时,称A为非奇异称重设计;当AA是奇异矩阵 时,称A为奇异称重设计.下面只就非奇异称重设计作点简短的 说明,因而假定(A4)存在 由(117.3), W一(A)-4Y, r(W)=(X4) 这里”ar表方差 于是,可以证明 定理1174.(1)对任一非奇异称重设计A3都有 W:)≥9(≤;≤) (117.4) 2)对一切(1≤;≤),(117.4)中诸不等式等号成立的 充要条件是 AA=b 对这一定理的证明有兴趣的读者请参看 Hotelling[1],Mori