guti I1]或 Raghavarao【4] (1174)中诸不等式等号成立的称重设计使各W的方差达 最小,因前叫最优称重设计,这是最优设计的一个简单例子 对于称重设计比有不少研究,对此有兴趣的读者请参看 Banerjee [1-31, Bhaskararao: 1], Chakrabarti [1, Dey [13 Federer [1 A Raghavarao [1-4] 现在来介绍幻方 定义1174.设A是一个a阶非负整数矩阵,每一行和,每 列和每一对角线和都相等,则称A是一个n阶幻方,如果#阶幺 方A的n2个元彼此相异,则称A是一个n阶异元幻方.如果n阶 幻方A的n2个元是连续的n2个非负整数,则称A是一个n阶连元 幻方,如果n阶幻方的n2个元就是1,2,…,n,则称A是一个n 阶始元幻方 定义中所说的“对角线”,指主对角线和次对角线“对角线和” 指对角线上诸元之和. 因为n阶扩丁方的每一行和,每一列和都相等,故很容易想到 由拉丁方来产生幻方 定义1175.设A是[1,n]上的一个a阶拉丁方,其主对角 线上的n个元两两相异,次对角线上的个元也两两相异.那么, A叫做一个n阶对角线拉丁方 由此可见对角线拉丁方都是幻方 关于对角线拉方的存在性问题,有(参看 Denes和 Keendwel [1]) 定理1175.设n>1.存在n阶对角线拉丁方的充要条件 是n÷2,3 n阶始元幻方在我国古代又叫做n阶纵横图.有关我国古代 对此的贡献请参看李俨[1] 关于连元幻方和始元幻方的存在性和构造方法(这和拉丁方 密切相关),请参看 Brualdi[1], Denes和 Keedwell[n]以及那 里所引的文献
有些幻方更特殊的性质.例如 l54937322715 4129241914246 1611643383328 474230252083 2217127443934 1483631262 3523181314540 它的每一行和,每一列和,每一对角线和,每一泛对角线和都相等 其数值为175.〃阶矩阵C=(c;)的“泛对角线指由n个元 犭2》+1 ,c,-1,如+-2):cn,+-1)(1≤i≤n) 所组成的两条平行于主对角线的线,或由 l,c,wi-1x,,cn1姓(-》),cn-(n-1)(1≤i≤n) 所组成的两杀平行于次对角线的线,这里《m》表最小正剩余 (modm),具有这样特殊性质的幻方叫做泛对角线幻方.关于这类 幻方的资料,可参看Bl!l], Denes和 Keedwell I1].值得指 出的是,4还是一个始元幻方 162207512613312011625 105152100291382433934 9227911364538150261 573017422510823119104 587517901752216161 13681841895087135114 2002031576171024681 537854692321751960 则B的每一行和每一列和,每一对角线和都是840,而且每一行 积,每一列积,每-对角线积都是20580682318560.这里一个 “行积”指该行上诸元之积,类似地也有列积,对角线积.具有这样 特殊性质的幻方叫做加乘幻方,关于这类幻方,可参看 Horner
t1,2] 和 Keedwell[1] 关于幻方就介绍到这里.最后介绍一下覆盖和填装, 定义117.6,设={B1,B2……·,Bb}是元集S上的 个区组设计,这里诸B;都是s的非空寞子集.设多4(S)是S 的全体t-子集所组成的簇,如果对任一T∈乡(S),T都包含在 的至少λ个区组中、则称是一个〔λ,v)覆盖.若是 个(λ31)-覆盖,且中区组的个数最小,则称是一个 (λ,1;)-最小覆盖.如果对任一T∈多(S),T都包含在的 最多2个区组中,则称是一个(λ,玛)-填装.若是一个 (λ,1)-填装,且中区组的个数最大则称是一个(λ, )-最大填装.如果对任一T∈(S),T都恰好包含在的λ 个区组中,则称图是一个(λ,B)-完美覆盖.若掷是一个 (x2t;)-完美爱盖,且中区组的个数最少;则称加是一个 )最小完美覆 下面着重介绍一下最小完美覆盖.设是一个(,B;t) 最小完美覆盖,记中区组的个数为g(,)则有不等式 出4÷1时,有 g(1:25v) (Eris和 de bruijn[1]), g(1,3;12)=47( Stanton和 Dirksen【1]) g(1,3;20)=g(1,3,21)=g(1,3,22)=77 ( Stanton, Allston FH Cowan [1], Stanton, Allston. Ead des, Cowan (11) g(1,3;q+1)=q2+q,q≥3,q是一个素数幂 和 [1]) 关于完美最小瘦盖的其它结果,可参看5 stanton[l], Stant3 Alston和 Cowan[1l, Stanton和 Goulden[l], Stanton和 Rogers 覆盖和填装的念可以发展为有向覆盖和有向填装,对此这 里不拟介绍,有兴趣的读者可以参看 Skillion一3]
§11.8沮合设计理论的内容 组合设计论研究的主要内容如下 (1)存在性问题.若已给出要求,研究符合要求的组合设计 是否存在以及存在的条件问题.例如,要想(b,r饣,2)设计 存在,b,U,r,kλ这些参数应满足什么条件?满足何种条件的 参数b,v,r,,λ,就一定存在(b,U,r,,)-没计?对一般情 形的组合设计的存在性问题还远未解决 (2)构造问题.若已知某类组合设计存在时,如何把它们构 造出来?经过人们的多玍努力,现在巳寻得一些构造方法,例如 借助于数论、有限域、有限几何和矩阵论等学科,已能构造出大景 的设计,用组合论自身的方法也能解决一些构造性问题。尽管如 此,对一般情形的组合设计的构造性问题离解决仍很遥远尚有许 多工作可作, (3)组合设计之间的关系。例如,由一个组合设计的存在断 定另一设计的存在或不存在问题;由一个已知的组合设计如何构 造出另一设计的问题;两个组合设计是否同构的问题,等等 (4)组合设计的性质.如果一类型的组合设计存在,除了定 义中所陈述的性质外,还具有哪些可供利用的性质?这些性质往 往对确证这种类型的组合设计存在或不存在,以及存在时如何构 造大有帮助,例如,循环差集的乘数(参看5143)对循环差集的 构造就大有帮助.又加已给部分区组时,能否定出全部区组,等 等 (5)计数问题.如果巴知某类组合设计存在,自然希望知道 这类设计的个数,或其中互不同构的设计的个数,一方而因为组 合设计理论现阶段还集中在上述(1)—(4)四个方面的研究,另 方面计数问题的研究相当困难,因而有关组合设计计数问题的研 究成果还不多,大最的计数问题还未提上日程.这个问题的难度 是可以想见的,因为存在性问题的解决已属不易,而存在性问题 31
用计数问题的语言来说,只是判定某类组合设计的个数是否为器 这一极特殊的情形 有关组合设计的上述几方面的大容,将在本书的以后诸章结 合一些具体类型的组合设计予以介绍 (6)最优设训.因篇帼关系,且因最优设计与数理统计的关 系更为密切,故未把闻述这一课趣作为木书的任务