Hadamard矩阼.在第;六章巾再详细研究这一课题 其特殊参数的平衡不完全区组设计的类型很多,上述只是最 重要最基本的儿种 如果一个区组设计既是可分解的,又是具参数b,砂,r,k,礼 的平衡不完全区组设计,就简单地叫依可分解的(b,Ur,饣2) 设计.由定义11.12和定义113.1知,此时(11.1.13)的分解式 中子簇多;的个数为r,又诃直接验证,问题11.1.3中给出的 Kirkman女生问题的解答,就是一个可分解的(35,15,7,3,I) 设计,子簇涕;(1≤i≤7)由第i日的五组所组成 §11.5部分平衡不完全区组设计 平衡不完全区组设计有几种重要的拓广,本书将涉及到三 种。这里讨论其中之一.而把另二种放到下节介绍.之所以要对 平衡不完全区组设计进行拓广,一方面是为了实际问题的需要 例如,因为平衡不完全区组设计的条件较强,对于很大一类参数, 它并不存在,而在处理一些实际问题时又需要一些设计供用,因而 采取削弱限制条件而构造出一些不是BBD的设计以应需要.另 方面,在理论研究中,例如在对BIB设计的研究中,这些折广有 着重要的作用 下面讨论BIB设计的第一种拓广,即部分平衡不完全区组设 计,简称为P班B设计,这是“ partially balanced incomplete block design"的缩写,这种拓广是把定义113.1中的条件(3)弱而得 到的,即不要求的每一个二元子集都在的诸区组中出现同样 的次数,但也不是对此毫无要求 PBIB设计的概念基于所谓“结合方案”的概念,故下面先从 结合方案谈起 设S={51,52,……,s}是一个”元集,且 (SxS)\{(s,5)|s∈S}=R∪R2∪…Rm R,∩R;=区(j,R,g (151) ·I8
是(S×S){(5,5)|5S}的一个分解.今后也把R,(l≤i≤m) 视为关系 定义11.51,如果对于集S,分解式(15.1满足下述条件 (1)每一关系R;(l≤≤m)都是对称的; 2)对于S中的每一元s,都有 l{s∈S(s,s')∈R;}|=n; 此数侬賴于i,而不依赖于s的具体选择; (3)只要(s,5)∈K;2就有 {t(t,5)∈R;(t,5)∈R1,t∈SH〓p,(152) 此数依赖于i讠和l,而不侬赖于s和s′的具体选择; 那么,诸关系R;就叫做基集S上的一个具有m个结合类的结合方 案。诸数 t,n;p(l≤i,j,l≤m) (11.5.3) 叫做该结合方案的参数 定义11.5.2,设已给基集S上具有参数(1153)的一个结合 方案诸R(1≤i≤m),={B1,B2,…,Bb}是S上的一个 区组设计,且满足余件 (1)1B=(1≤i≤b (2)对任一s∈S,都有 H{B,|B;)s,1≤i≤b1 此数不依赖于s的具体选择; (3)对S中任二相异元5和s,只要(,了)∈R;,就有 B,IB },1≤j≤b=1;(1≤i≤m), 此数赖于i而不依赖于s和了的具体选择; 那么就称是基集S上的一个具有m个结合类的PBB设计,简 汜为PHIB1;B3,…,Bb).诸数 ,n外(1≤ ≤m)(1154) 叫做该PBI设计的参数 由第二|章的一个结果(引理20.1.4)的系,上面定义中的 件(2)可以别去, 19
由定义11,5,2,m=1的PBIB设计就是BIB设计,当m>1 时,对一个PBB设计,尽管诸区组的容量都相同,诸元在诸区组 中出现的次数也都一样,但是对不同的结合类中的元素对,它们同 时出现在其中的区组的个数却可以不同.这就是“部分平衡一问 的由来.放宽这一条件的原因是,在试验设计中2有时PBIB设计 就已经很合用,毋须BIB设计 2时的类重要的PBIB设计是可分组设计 定义115.3.设绪={B1,B2,…,Bb}是基集S上的 个区组设计.如果S有分解式 S==SUS2U.USt S|=|S2 {S|, 中各区组的容量又相等 1B1|=|B1|=…=|Bb}, 且任一对S中的不同元(1≤i≤l)恰在λ1个区组中同时出现, 而任一对了,s(∈S;,s∈S,1≤i+j≤1)恰在x2个区组中 同时出现,则称这样的设计为一个可分组区组设计,简称为可分 组设计 可分组设计是PBIB设计这一事实的证明将在520.2中给 出 PBBD的概念最早是由Bose和Nar(1于1939年提出的 在他们的定义中,要求诸λ彼比不同.后来,Na和Ra0删去 了这一条件 第二十章将对 PBIBD作进一步的讨论。 §11.6-设计和按对平衡设计 平衡不完全区组设计另外两种重要的拓广是设计和按对 平衡设计,在平衡不完全区组设计中,如果不要求每个元素在诸区 组中出现的次数相同,那么,当把条件“对S的任…个二元子集,包 含该二元子集的图中区组的个数是一个不依赖该二元子集的常
数换为“对S的一个t元子集,包含该t元子集的中区组 的个数是一个不依赖于该!元子集的具体选择的常数”,就得到 t-设计的概念;当把糸件“B;(1sj≤b)是灬个不依赖于i 的常数”蒯去时,就得到按对平衡区组设计的概念.更确切地说, 有 定义11.6L假设〓{B1,B…,Bb}是一个元集 S上的区组设计.如果拓满足下述条件: (1)1B;=k(1≤1≤b); (2)对一固定的正整数t和S的任一个t元子集(t≥1), 包含该集的中子集的个数都是同一常数5 则称涕是集S上的一个4-(,,)设计,简称为t设计 上设计有下币的重要性质 定理1161.设是集S上的一个1-(b,,1;)-设计月 是[1,t]中的任一整数,则对S的任一x元子集,包含该子集的 中区组的个数是同一个常数xa:; (-n)4 (饣一a) (1.6.1) 它依赖于κ不依赖于该κ元子集的具体选择 证明.首先考虑a=t-1的情形.该S是S的任一定 的x-1元子集.考虑 ={(S",门)1S"→S',!S"i=!,B1→S"} 今用两种方法计算||.一方面,合“SS,S"(=”的S 的个数是(-(4-1))=-t+1;这是因为,S"是由S'诉 加SS中的一(-1)个元的一个而得到的.对每一个这样的 S"因|S"=t故包含它的中区组的个数都是λ.因此 十1)x (16.2) 另一方面,设B是一个包含S的区组,则B包含了(代一(t-1)) 饣-+个含“S"S,|S"=:的子集S",这是因为 把B\S中的每一个元祿在S上就可以得到一个合条件的S".记 包含S的中区组的个数为(S"),那么
}=(k一t+1)(S') 11.6.3) 光较(11.6.2)和(1163)即得 况(S) (【6.4) 饣一t+I 这个数依赖于lS:=t-1,而不依赖于S的具体选择,因此,可 记为x(S 重复上面的准理或用数学归纳法即可证得(116.1).证毕 在定理中取t=1便有 系1.设络是集S上的一个t-(,,2)-设计,则S中任一 元在的诸区组中出现约次数都是同一个数a1; λ1: λr 这就是说,虽然在t设计的定义中不要求基集S中的每 在图的诸区组中出现的次数都相同,然而t设计确具有此性质 系2.如果1≤≤t,则任一4-设计都是一个-设计 由系1和(b,U,r,k,)-设计的定义,有 定理11.62.一个2-(U,,)-设计就是一个(b,U,,,1) 设计,其中b是一个适当的正整数, a(u-1) 系.设一{B,B2,,Bb}是元集S上的一个区组 设计,如果沼满足定义11.3.1中的条件(1)和〔3),则条件(2) 定满足,因而是一个平衡不完全区组设计.再者,郊果条件(1) 和(3)中的常数分别为和λ,则(2)中的常数为 λ(u-1) 个4-(",,)-设计叫做单的,如果它没有重复的区组;叫 做平凡的,如果基集S的每一饣-子集都出现同样的次数, Wilson1 以及 Graver和 Jurkat1于1973年证明了对所有t,都存在非平 凡的:-设计,但是不能断定这些t-设计是单的,反之,人们猜想, 对t≥6,不存在非平凡的、单的t-设计,这一猜想是否为真的问 题就是“t-设计的存在问题“,不久前, Magliveras和 Leavitt给 出了六个两两不同构的、非平凡的、单的6-(33,8,36)设讨,而