§114一些特殊类型的平衡不完全区组设计 若对(b,,r,饣,λ)-设计附加上另外一些限制条件,就产生 特殊类型的平衡不完全区组设计 一种特殊类型的平衡不完全区组设计是所谓的对称的平衡不 完全区组设计 定义11.4.1.一个(,B,饣,,)-没计叫做对称的平衡 完全区组设计或对称的BB设计,又叫做(U,,1)-设计.又常 简称为对称设计 种特殊类型的对称设计是所谓的循坏对称设计,这种设计 同循环差集密切相关 定义1142.以正整数v为模的饣个互不同余的整数所组成 的集D〓{m1,a2,…,}(modu)叫做一个(,,λ)-循环 差集,如果对每一个d与0(modv),恰好有D中的k个有序对 (a,a;)使得 d at( mod v 在定义1.4.2中,号“D={a1,a,…,}(modu)”的 意思是,D由1,42,…,a所代表的诸剩余类(modt)组成 有时又将此记为D={1,a2,…,a(modv).如果用z,表 模v的剩余类坏,a表整数a所在的剩余类,则定义1142又可改 述为 定义114.3.Z。的一个元子集D{a1,a3,…,a叫 做一个(υ,饣,λ)-循环差集,如果对每一d∈Z,d÷0,恰有D 中λ个有序对(a1a使得 d a ar-a 例1141.设v=1t!,则Z1的子集D={1,3,4,5,9}是 一-个(11,5,2)-循环差集 这很容易直接验证如下: T-3=9
8 111333445 4=5_9_45_9 459459 3=1 (114.1) 5 9 33445 6154 9 在(114.1)巾诸式左节穷尽了D的一切有序相异元素对之差,而在 诸式的右中,1,2,…,10恰好各出现二次 为了介绍循环对称设计,需要区组设计之间同构的概念 定义144.分别在“元集S1={,5…s和S2 ,5…}上的两个(b,,r,,)-设计1={B, Bb}和2={B!,…,B”}称为是同构的,如果存在从S到S2上 的一个(1-1)映射a a:;→a(s;)∈S 它也是从断1到省2上的一个(1-1)映射 a:B;→a(B)∈图2 这里a(B;)={a(s)s∈B}.此时又说映射c是从,到湘2 上的一个同构.如果S1=S,图1=照;且a是从到其自 身上的一个同构,则说a是1上的一个自同构 容易验证,1上的全体自同构组成一个群,叫做图1的全自 同构群.这个群的任一子群都叫做区组设计1的自同构群 定义14.5.S={5.,52…,s}上的一个对称〔v,k:1) 设计图={B:Bn,…,B}称为循环对称设计,如果存在 的一个自同构&,合于 {B1,a(B),n(B1):……:"-(B1)}以,省 例114.2.主的(11,5,2)}-设计、={B1:B:,…,B1}
是循环的,这里 B1={1,3,4.5,引}, B2={2,4 10}, B B,={1,4, .-{2,5 5-6-6.7-8 B:={3,6 9,10 (1142) B7咖{0,4,7,9,10} B={0,1,5,8,10} 》, B9={ i,2、6,9 B B 0{{ 3,7, 这可直接验证如下.因为 {1,2}∈B9,B1s;{,3}∈B:B, {1,4}∈B13,B4;{1,5}∈B1,Bs {1,6}∈B,B;{1,7}∈B,B1 {1,8}∈,Bs;{,9}∈B,B; {I,1θ}∈Bs,B1;{2,3}∈B1,H1; {2,4}∈B {2,5}∈B2,B5 {2,6}∈B {2,8}∈Bs2 BBB {2,7}∈ 2,9 BB 9 {2,10}∈B2;B;{3,4}∈B1,B {3,5}∈B1B2;{3,6}∈B3,B 3,7}∈B3,B;{3,8}∈B6,Bu1; 3,9}∈B,B6;{3,10}∈B,B; {4,5}∈B:,B;{4,6}∈B2,B 〔114.3) {4,7}∈B4B;{,8}∈B4,B1; B. B 4_55 {4,I0}∈B2,B2 B2,B3;{5,7}∈ B B BB B B
15,10}B1:B{6:}∈BsB {6,8}∈B4,Bs;,9}∈B,B 16,10}∈B2,;{7,8}∈B,B; {7,升}∈B,;B,;{7,10}∈B:,B1m 9}∈B5,B6;{8,10}∈B,B ,10}∈B 故(1142)是一个(11,5,2)-设计,设泱射a为 (II44) 则a是Zu上的一个(1-1)映射,且 z1={0,a(0),a2(0) 0) B,=B;+(1≤i≤10 114.5) 因此(11.4.2)是循环的 也许读者已经注意到了例114.1和例11.42之间的联系。实 际上例1142中的B1就是例114.1中的D例I14.2中的其他 诸B都可借助于(11.44)和(11.4.5)产生,这种联系并不是偶然 的,因为下面的一般性定理成立 定理1141.Z上的一个元集 aki (11.4.6) 是一个循环差集的充要条件是,集 B Ig D2> (11.4.7 是Z上的一个(,λ)-循环设计,其中 B,:=d B (B1),B B2) B (B1) 11.4.8) 这里a为Z到其自身上的(1-1)映射 c 十 (11.4.9) 证明.先证条件的充分性.设由(1148)中诸B;(B4=D) 组成的(14.7)是一个(v,饣,)-循环设计.对任一4÷0,因Z 中的元素对(d30)恰好在λ个区组中出现,故恰有个t合 (11.4.10) (14.10)成立的充要条件是 ·6·
这就是说,d恰可表为D中x对有序元之差,因而D是一个(p, λ)-循环差集 再证条件的必要性.设(11.46)式确定的D是一个(U,) 循环差集.由(1148)所定义的B;为 十 (1≤i≤v),(11.411) 显然,B;|={(1≤i≤t),l密!=“.因为Z,中每一元在 B1∪JB2∪∴B,中出现次,而每一B,中的个元彼此不同, 故i拾在个B,中出现。设#,是Z。中二不同元,令a=一, 则4÷0.由于D是一个(,,x)-循环差集,故恰有D中个有 序对(a,a1)(t≤l≤λ)合 i-3=d=a一a1(1≤!≤λ) 记i一a;1=i,即a=at+t,则 x a1/x 这就是说,{,引恰在B1+1,B1+,……,Bn#这1个区组之中 至此已经证明是一个(,饣,)-设计.再由(I111)和 11.4.9)得B的循环性.证毕 由这个定理和下面5141之首的说明可知,Z,上的循环区组 设计的研究完全化成了循环差集的研究.有关循环差集的详细讨 论,将在第十四章和第卜五章中进行 另一种特殊类型的对称设计具有参数u=n2+n+1,饣= n+132=1,这与有限射影平面有关,关于有限射影平面以及更一 般地,关于有限几何以及由它们导出的设计将在第十七章中讨论, 个(4一1,2:-1,1-1)-对称区组设计又叫做 Hadamard 设计,这是因为它与一类作用巨大的矩阵有关,而这类矩阵叫做 17