粗略地描述的是作出符合要求的试验的安排的方法,这叫做试验 的设计,利用符合要求的试验设计来进行试验就可得出许多数 据,如何分析这些数据从而得出有关试验的一些结论,这叫做试验 的分析.一般说来,试验的设计属于组合论的研究对象,而试验的 分析则是数理统计学的内容.本书只研究试验的设计.对试验的 分析有兴趣的读者可以参考有关的资料,例如,H.B.Mnn[1]和 D.C. Montgomery[1,以及中国科学院数学所统计组[I] 试验设计在组合论中又叫做区组设计,是组合设计的一种重 要类型.为了说得更确切些,给出以下的定义 定义1111.设S是一个有限集,B1,B,……,Bb是它的b 个子集或b个无重排列,由诸B组成的簇一{B1,B2…,Bb} 就叫儆集S上的一个区组设计,S叫做该设计的基集,诸B;(1≤ i≤b)叫儆该设计的区组.S的诸元素的一种确定的安排就叫做 S上的一个组合设计 为方便计,未特别说明的区组均指子集,且有时也把将作为某 一设计的区组的一个子集或无重排列叫做区组 需要强调的是,在这个定义中,每一区组都是一个子集,或都 是一个无重排列,其中无重复的元,而区组簇则可以有重复的 区组,此外,这个定义非常广泛,对区组、区组簇和诸元素的安排 方式几乎无限制.要使研究的问题对理论和实际有意义和作用 往往需要对这些加上若干适当的限制条件.这将是本章的其他诸 节和本册的其他诸章的主要内容.这里先介绍一个较一般的简单 情形 定义11.2.设是基集S上的一个区组设计,如果 有分解式 琊1团,∪∴U掷, (111.13) 使得对任一元s∈S和任一足标∈!1,r],都恰在涕;的一个 区组中出现,则这样的区组设计叫做一个可分解区组设计,简称 为可分解發计.每一图:叫做一个平行联组或简称为联组,又叫 做一个平行区组簇或简称为平行簇
例如,在问题113中给出的 Kirkman女生间题的解就是一 个可分解设计,涕,(1≤i≤7是由第i日的五个组所组成的 子簇 这类设计将在第小八章中遇到 区组设计的理论有着很多重要的实际应用,这可以从上面几 个说明性的问题得知一个轮廓.在本书介绍区组设计理论时, 般不涉及它的具体应用,因为这不是本书的任务.自然区组设计 理论的应用并不仅仅限于对试验的安排和研究,它对计算机科学 和数字通讯理论等都有着十分重要的应用.有兴趣的读者可以参 看F.J.Mac; illiams和N.J.A. Sloane[1]. 本章的其余各节将分述几种基本类型的区组设计的概貌,而 对这些基木类型的区组设计及其互相联系的详细研究将留待本书 的其余诸章 §11.2完全区组设计 设S={s35,…,5}是一个p元集. 定义121.集S的一个完全区组设计是S的满足一定条件 的若干个无重全排列的全体,其中每一个全排列叫做一个区组. 如果(11.1.1)是一个阶拉丁方,则A的每一行(或每一列)可 以视为集S的一个全排列.这些排列所满足的条件由(11.2)(或 (11.1.3))洽出.因此,一个拉丁方是一个完全区组设计一般地, 个t×"阶(或×t阶)拉丁矩(参看§56)也是一个完全区组 设计 如果定义112,1中的诸全徘列满足条件:这些排列的选取是 崺机的,这样得到的完全区组设计又叫做随机完全区组设计 当其需要作一系列试验而诸试验的顺序对试验结果有影响 时,往往采用随机完全区组设计来安排这些试验.例如,为了要观 七种助生长药物的效果,今用+二只兔来作试验:七日内每只 兔每臼喂一药.一般来说,所喂的药的贩序对这七日试验的总效
果会有彰响因为先喂的可能加强或削弱后喂的药的作用.把 这七种药分别用[1,7]屮的数来编号.如果全部十二只兔都按 [1,7]的同一排列中的顺序来喂药,则这些药表现出的效果会比实 际的效果大或小些从而影响得出正确的结论,如果在集[1,7]的 全排列中随机地选出十二个来作为十二只兔喂药的次序,止面的 弊病即可克服.已有现成的随机数的表和随机排列的表供查用, 例如,有 Kendall和 Babington-Smith【1], Rand corporation【1]. 完全区组设计以及与之相关的正交设计将在第十八章讨论 §11.3平衡不完全区组设计 设S={52;…;s}是一个元集 定义1131.设拓={B1,B2,……,Bb}是集S上的一个 区组设计,如豸满足条件 (1)1B,是一个不依赖于j的棠数(1≤j≤b); (2)对S的任一元s,含5的中子集的个数是一个不依赖 于5的常数; (3)对S的任一个二元子集{,5,包含该子集的子 集的个数是一个不依赖于5和s的常数; 则说是集S上的一个平衡不完全区组设计,(1)中的常数值 叫做各区组的容量,(2)中的常数值叫做S中元在诸区组中的出现 数,(3)中的常数值叫做S中二相异元的相遇数.如果这三个数分 别是k,r,λ,这个区组设计就叫做一个(b,U,「,,2)-平衡不 完全区组设计,简称为(b,t,「,饣1)-设计,b,”,,k,λ叫做 这个设计的参数 所有区组的容量相同,以及S中任一元的出现数都相同,且任 一对相异元的相遇数都相同这就是设计的平衡性的含义 平衡不完全区组设计又记为BIBD或BIB设计,它们是 balanced incomplete block design”的缩写 定义113.1中的条作(2)实际上是条件(1)和(3)的推论(参看 10
定選1162的系)而可以删去.这里列出它,其原因之:-是强 调这一条件,另一是遵从组合学文献的习惯. 下面来看参数取…一些特侏的情形 当=0时,若要图成为一个(b,U,r,))-设计,则有 非负整数b使 (1].3. 个一 易证,对任一非负整数b,(11.3.1)确为…个(b,,0,0,0)设计 当=1时,若要成为一个(b,,”3,孔)设计,则有 正整数r使 {{s1},…;{s},{sz},…,{s2} (11.3.2) 易证,对任一正整数r:(11.3.2)确为一个(rυ:U,r,1,0)-设计 当饣=2时,若要治成为一个(b,「,,4)-设计,则有正 整数又使 5 {:1,s2 {s;,5+},……,{s;疔+}, λ个 3 (13.3) λ个 易证,对任一正整数(13)确为一个(x:"2", (n-1),2,)-设计 当四“一2时,若要成为一个(b,即,「,饣,λ)-设计,则 有正整数:使 1、 ;S+ 个
s-1;s},…,S\{s,},(11,3.4) 个 易证,对任一正煞数,(11.34)确为一个(,(u 1)(t-2) (u-2)(u 设计 2 当=-1时,若要成为一个(b,“r,,L)设计,则有 正整数,使 S S\{s},…,S\{$},…, 个 (11.3.5) 易证对任一正氅数:,(1.3.5)确为一个(u,t,(u-1)t,~I (4-2))-设计 当k="时,若要成为一个(b,",r;,λ)-设计,则有正 整数r,使 (11.3.6) 显然,对任一正整数r:(11.36)确是一个(r,,r,,r)-设计 由第十二章将要证明的一个定理(定理121.5),∴述关于 一-2,p-1,的情形可分别化为一2,1,0的情形得到 解决,从而七可以得到处理,这里用直接构造的方法,不依赖于定 理12.1.5 因为设计(11.3.1)-(1136)是显而易见的,故称为平凡的 BIB设计;又因为它们的参数具有的特殊值往往影响具一般参数 的设计的统一性,故又称为退化的BIB设计,为了处理的统 和方便起见,若无特殊的说明,一个(bt,r,,1)设计今后常 指除开(1131)(11.3.6)以外的设计,亦即参数k满足3≤夜≤ 3的设计,这又叫做非平凡或非退的BIB设计 12·