宜在该地区种植的有关结论.比较一下下面几种划分试验场地的 方式 (2) 11.5) C BB Bisic (3 在(15)的(1)和(2)中,品种A,B和C安排得比较集中.这 样,三横条或三竖条地上的上质的好坏对三个品种的小麦的长势 和收成的影响很不均衡,(3)比(1)和(2)都好特别是每一纵条上 三个品种的小麦都有,因而三纵条上的土质对这三个品种的小麦 的影晌比较均衡;但是,在三个横条上,三个品种的小麦却分布得 很不均衡,因而三横条上的土质对这三个品种的小麦的影响就不 均衡了.(4)就避免了上述缺点,使得三横条和三纵条上的土质对 三个品种的小麦的影响都是均衡的,这表明了方法(4)比其他三 种方法都要好些,而(4)正好是三个文字的集{A,B,C}上的 个三阶拉丁方 今欲生产一种饮料,其主要原料有A,B,C,D四种,希望 通过试验来找到一个恰当的配方使得饮料的质量最好 如果对每种原料都选择三种不同的剂量,分别记为A;;B,, C,D;(1≤i≤3),来做试猃,就得做3-=81次.能否通过作较 少次数的试验而得出比较可靠的结论呢? 粗略地说,如果能设计出…个做力次试输的方案使得四种原 料的任二种(暂记为甲、乙)的三个剂量的组合甲,(1≤j≤3), 乙,(1≤≤3)都能在这个方案巾出现,则可望由此得出较可靠 的结论.如果每一对甲,乙恰好相遇一次,那么,各种原料的各
种剂量就可认为搭配得很合黜,且在保证此合理搭配的条件下试 验次数可达到最小,因而是比较理想的试验方案 现在来计算这样的试验次数n.一次试验可以用下面的方法 来表示 A1B;CbD2;A的剂量为A,B的剂量为B;,C 的剂量为Ck,D的剂量为D 于是,一次试验中有诸原料的(2)=6对剂量相遇故m次试验 中诸原料的种剂量相遇的总次数为6n。另一方面,由A分别 与B,C,D的全部可能的剂量各相遇一次,就得相遇9次,故A 的三种剂量分别与B,C2D的全部可能的剂量各相遇一次时,其 相遇的总次数为3·9次.类似地,B的三种剂量分别与C,D的全 部可能的剂量各相遇一次时,其相遇的总次数为3·6次;C的三种 剂量与D的三种剂量各相遇一次时,其相遇的总次数为3·3次 总起来,每二种剂量恰好相遇次时,诸剂量相遇的总次数是 3(9+6+3)-54. 由6n=54得出n 这就是说,符合要求的方案如果存在的 话,它包含九次试验 为了配出这九个方案,可列出一张表,除了表头的行以外,它 的每一行表示一次试验,而第1,2,3,4列分别是A,B,C,D的 三种剂量,由于A;与B1,B2,B,都要相遇,故A1,A2A3各要出 现在二行上,而且在4出现的三行上,B1,B2,B3各出现一次。 这样一来,经过行的换序,这个表的头二列可以写为 BBBBBB时 (11.】6 B d, By
为了得出符合要求的第i列,把(.10改写为下面的形式更 为有益 CA,B),C (11.17) (42,B1),(H,B1),(42,B3) (l,B1),(3B),(H1,B3) 其中第i行与第列交口处的元素为“(A4B;),",这里A;,B1外 的括号表示A;和B;组成一个元素对.这可以略去不写,因为由 表的行头和列头已经表明了这一点,(A,B)后的逗号表明将要 添上适当的Ck.由于元秦对(,C)(1≤1个≤3)和(B;,Ck) (1≤门≤3)在全部表中恰好各出现一次,所以C1C1,C,在 (117)除表头以外的各行和各列中皆各出现一次.因此,路去 (1117)中的诸(A;,B;)且添上符合要求的各C所形成的阵列 正好是集{C:,C2,C3}上的一个三阶位丁方.而且反之亦然 例如,可以用三阶拉丁方 C1 C2 Cy C. c 1118) 把表(1117扩充为 B CA,B),C (I119) (A1,B1),C(A13B:),C(A13B3),C (A2,B1),C,(3,B:),C3(3,B,C1 占 (A,B1),C1(J3,B1),C,(耳3,B3)C3 现在还需在(119)亡添入适当的D.与添C的情形类似地,要 添人的诸D组成集{D1,D2,D}上的一个三阶拉丁方,此外,诸 D的足标与诸C的足标各相遇一次,这就是说,足标对(饣,)恰
好出现一次,亦即D4的诸足标所组成的拉了方与诸C的足标所 组成的拉丁方这二者正交。而且,反过来的推理也是对的.例如, 因为 123 231和 正交,故可把(11.1.9)扩充成符合要求的表 B B. B A、(B),C,D (,B1),C1,D(A1,B2),C2,D(A1,B3), (A2,51),1,D3(A,),3,D,(A2B1)2C,D f(3,B1),3;D2(3B2),C1,D1(a3B3),C2,D2 在表(I110)的“(A,B),C,D"栏中的九个组合就是符合要 求的试验安排 下面转而讨论 Kirkman于1847年提出的一个问题 问题1113( Kirkman女生问题)某教员打算这样安排 她班上的十五名女生散步:散步时三名女生成一组,共五组,问 能否在一周内每日安排一次散步,使得每两名女生在这周内一 道散步恰好一次? 下面就悬符合要求的分组方法 第一日:{1,2,5},{3,14,15},{4,6,12}, {7,8,11},{9,10,13} 第二日:{1,3,9},{2。8,15}{4,11,13} {5,12,14},{6,7,10}; 第三日:{1,4,15},{2,9,11},{3:10,12}, {5,7,13}3{6,8,14} 第匹日:{1,6,1!},{2,7,12},{3,8,13},(1l.1,11) 14,9,14},15,10,1
第五日:{1,8,10},{2,13,14},{3,4,7}, {5,6,9},{11,12,15}; 第八日:{1,7,14},{2,4,10},{3,5,8} {6,13,15},{8,9,12}; 第七日:{1,12,13},{2,3,6},{4,5,8}, {7,9,15},{10,11,14} 问题11.1.3表面上看起米乜纯属数学游戏,然而它的解(11.1.If) 却有其实际应用,下面是一个说明性的例子,今欲用15种饲料 对某种动物作试抢,试验分五个阶段进行,每个阶段以三种饲料的 混合物来喂养用作试验的七只同类动物,假定需要按以下条件来 安排试验:(1)每种饲料对每只用作试验的动物在五个阶段所用 的泥合饲料中恰好用一次,(2)每两种不同的饲料对全体用作试 验的动物在五个阶段所用的混合饲料中都恰好同时用过一次。那 么,根据(111),可以得到一个符合要求的安排,有如(11.112) 所 阶段 饲 第…一只 I,2,53,14,1546,12 7,8,11910,1 第只 1,3,92,8,154lI,135,12,146,7,10 第三只 第四只 1,6,112,7,123,8,13 4,9145,10,15 第五以 ⊥,8,102,I3,143,4, 5,6,911,12,l 第六只 1,71+2,4,103,5,11 6,13,158,9,12 第只 1,』2,32,3,6 4,5,5 7,91510,1,1 (11.1.12) 关于 Kirkman女生问题以及与其有关的一些河题,在第十九 章还将详细地讨论 不管是用拉丁方在试验地上安排农作物的播种,或用正交拉 丁方安排儿种原料的配方,还是用 Kirkman女生问题的解作出的 一个饲程內饲料的安排,都涉及一些科学试验的安排问题.上面