沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第3章 向量与线性方程组 3.3 向量组的线性相关性

例 1 设α =(1,1,1)T, α2 =(0,1,1)T, α, =(0,0,1)T,β=(1,3,4)，问β能否由α,α2,α,线性表示?方法二←>Ax=β有解β 能由 α,α2,α 线性表示线性表示<> R(A)=R(Aβ否则 β 不能由α,αz,α 丝00|11100130(Aβ)=(α,α2,α|β) =1100-1-13011140101R(A)= R(A|β) = 33110→00，故β能α,α,α线性表示-1-1

1 2 3 ( ) ( , , ) A       1 0 0 1 1 1 0 3 1 1 1 4            R R ( ) ( ) A A    3 方法二  能由 1 2 3    , ,  Ax    R R ( ) ( ) A A   线性表示 有解  1 2 3 否则 不能由    , , 线性表示 ，故  能由 1 2 3    , , 线性表示 例 1 设 T 1   (1,1,1) ， T 2   (0,1,1) ， T 3   (0,0,1) ， T   (1,3, 4) ，问  能否由 1 2 3    , , 线性表示？              0 1 1 3 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 3 0 0 1 1             

练习 β =(1,0,0), β,=(2,0,0)T,β,=(1,1,0)T,β =(1,1,1)判断β4可否由β,β,,β，线性表示?解：设121(βr,β2, β3, β4) =00110001因为 R(βi,β2,β)=2R(βi, β2, β3,β4) = 3即 β4 不能由 β,β2,β,线性表示

因为 解:设  4 1 2 3 即 不能由    , , 线性表示。 练习  4 1 2 3 判断 可否由    , , 线性表示? T 1   (1,0,0) , T 2   (2,0,0) , T 3   (1,1,0) , T 4   (1,1,1) 1 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1           1 2 3 4 ( , , , )      1 2 3 4 R( , , ) 2    1 2 3  R( , , , ) 3     

α =[1, 2, -1, 5] ,α, =[2, -1, 1, ]"例1：设向量组β,=[4, 3, -1, 11]′,β,=[4, 3, 1, 11]线性表示？若能，写线性式。问β能否经向量组α,α22[1[14解42R,-2R 203-1-5-5R,+R(αi,α2,β)R-5R-103-13110-9-95240211-↓R200111R,-3R2R-2 R2R(α1,α2) = R(α1,α2, β) = 2R4 +9R2000000000[000且表示式唯一：β=2α+α2β 可经αi,α 线性表示

例1：设向量组         1 2 1 2 1, 2, 1, 5 , 2, 1, 1, 1 , 4, 3, 1, 11 , 4, 3, 1, 11 T T T T            解 2 1 3 1 4 1 2 1 2 1 5 1 2 4 1 2 4 2 1 3 0 5 5 ( , , ) 1 1 1 0 3 3 5 1 11 0 9 9 R R R R R R                                        1 5 2 3 2 1 2 4 2 3 2 9 1 2 4 1 0 2 0 1 1 0 1 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R R R R R R R                               1 1 2 问 能否经向量组  , 线性表示？若能，写线性式。 1 1 2      2 . 1 2 1 可经  , 线性表示，且表示式唯一： 1 2 1 2 1 R R ( , ) ( , , ) 2       