《数值计算》课程教学课件（讲稿）第5章 线性方程组的直接解法（1/2）

当经过k=n-1步后,(A(),b(1))将化为allall一a(A(1),b(1)) →(A(n),b(n)) =.b(n)q(n)nn3由于 det(A) 0可知α0i=1,2,,n因此,上三角形方程组 A(n)x=b(n)有唯一解上页因此可得线性方程组 Ax=b的解：下页返回

上页 下页 返回              ( ) ( ) (2) 2 (2) 2 (2) 22 (1) 1 (1) 1 (1) 12 (1) 11 n n n nn n n a b a a b a a a b      ( , ) (1) (1) A b 当经过k  n 1步后,(A (1) ,b (1) )将化为 ( , ) (n) (n) A b 由于 det(A)  0 a i n i ii 0 1,2, , 可知 ( )    因此可得线性方程组 Ax  b的解： 因此,上三角形方程组 A (n) x  b (n) 有唯一解

b(n)回代nx.一n(n)a'nnbl-Zagx;j=i+1i=n-1,n-2,..:,2,1x, =(i)dii定理若A的所有顺序主子式均不为0，则高斯消元得到唯一解。无需换行即可进行到店注：事实上，只要A非奇异，即A-1存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出上页唯一解。下页返圆

上页 下页 返回 ( ) ( ) n nn n n n a b x   i  n1,n2,  ,2,1       ( ) 1 ( ) ( ) i ii n j i j i ij i i i a b a x x     定理 若A的所有顺序主子式均不为0，则高斯消元 无需换行即可进行到底，得到唯一解。 i ii i i a a a a A . . . . . det( ) 1 11 1 注：事实上，只要  A 非奇异，即A1 存在，则可通过逐 次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出 唯一解。 回代

例1.用高斯消去法求解方程组：Xi+X2+Xs=64x2- Xs = 5L2x -2x, +x, =1解：用增广矩阵表示：613-2r(A|b) =5-1113+r25上页-6下页返圆

上页 下页 返回 2 2 1 4 5 6 1 2 3 2 3 1 2 3         x x x x x x x x      例1. 用高斯消去法求解方程组： 解：用增广矩阵表示： A b              2 2 1 1 0 4 1 5 1 1 1 6                 0 4 1 11 0 4 1 5 1 1 1 6 3 1 r 2r                0 0 2 6 0 4 1 5 1 1 1 6 3 2 r r

即上三角方程组：Xi+ X2+X =64x2- X3 =5- 2x3 = -6回代，得：Xg =3X = 2x =1所以X =1,X2 = 2,X =3上页下页返圆

上页 下页 返回 2 6 4 5 6 3 2 3 1 2 3         x x x x x x      回代，得： 即上三角方程组： x3  3 x2  2 x1  1 所以 x1  1, x2  2, x3  3