例1求曲线y=x2与直线x+y=2所围成的平面图形的面积 解](1)求积分区间 联立方程组 B y=x x+y=2 x+y=2 x 求得交点:A(-2,4),B(1,1) (2)微分元素dA=[(2-x)-x2]dx (3)计算面积 A=20(2-x)-x]dx=2
例 1解 2 . 求曲线 y = x2 与直线x + y = 所围成的平面图形的面积 O x y 2 y = x x + y = 2 − 2 1 A B (1) 求积分区间 联立方程组 2 y = x x + y = 2 求得交点: A(− 2, 4), B(1, 1). (2) d [(2 ) ]d . 2 微分元素 A = − x − x x (3) 计算面积 . 21 ] 4 2 3 [(2 ) ]d [2 12 2 3 12 2 = − − = − − = − − x x A x x x x
例1求曲线y=x2与直线x+y=2所围成的平面图形的面积 解](1)求积分区间 联立方程组 B y=x x+y=2 x+y=2 2O1 x 求得交点:A(-2,4),B(1,1) (2)微分元素dA=[(2-x)-x2]dx.有何想法? (3)计算面积 A=20(2-x)-x]dx=2
例1 解 2 . 求曲线 y = x 2 与直线x + y = 所围成的平面图形的面积 O x y 2 y = x x + y = 2 − 2 1 A B (1) 求积分区间 联立方程组 2 y = x x + y = 2 求得交点: A(−2, 4), B(1, 1). (2) d [(2 ) ]d . 2 微分元素 A = − x − x x (3) 计算面积 . 2 1 ] 4 2 3 [(2 ) ]d [2 1 2 2 3 1 2 2 = − − = − − = − − x x A x x x x 有何想法?
例求曲线y=x,直线y=x,y=2x所田平面图形的面积 解(1)求积分区间联立方程组 B y y=x 2x Y=X v=2x 2x y=x 求得交点为A(1,1),B(2,4),O(0,0) 积分区间为[,1[1,2]=[0,2] (2)微分元素 在[0,1中dA=(2x-x)dx=xdx;在[1,2中dA=(2x-x2)dx (3)计算面积 A=L(2x-x)dx+(2x-x2)dx
例 2解 , , 2 . 求曲线 y = x2 直线 y = x y = x 所围平面图形的面积 O x y y = 2x y = x2 y = x (1) 求积分区间: (2) 微分元素 (3) 计算面积 联立方程组 2 y = x y = x 2 y = x y = 2x y = x y = 2x 求得交点为 A(1,1), B(2, 4), O(0, 0). A B 1 2 积分区间为 [0, 1] [1, 2] =[0, 2]. 在[0,1]中, d A = (2x − x)d x = x d x ; [1, 2] , d (2 )d . 2 在 中 A = x − x x . 67 (2 )d (2 )d 21 2 10 = − + − = = A x x x x x x
例求曲线y2=2x与直线y=x-4所围成的平面图形的面积 2x B 解(1)求积分区间 2x 联立方程组 x-4 y=x-4 求得交点为A(2,-2),B(8,4) 由图可以看出 选择y为积分变量比选择x为积分变量好 积分区间为y∈[-2,4] (2)求微分元素dA=(y+4)-y2)dy ()计算面积4=2(y+4)-2y)dy=…=18
例 3解 2 4 . 求曲线 y2 = x与直线 y = x − 所围成的平面图形的面积 O x y y 2x 2 = y = x − 4 A B (1) 求积分区间 联立方程组 y 2x 2 = y = x − 4 求得交点为 A(2, − 2), B(8, 4). 由图可以看出: 选择 y为积分变量比选择 x 为积分变量好. (2) 求微分元素 )d . 21 d (( 4) 2 A = y + − y y (3) 计算面积 )d 18. 21 (( 4) 42 2 = + − = = − A y y y 积分区间为 y [− 2, 4]
2参数方程形式下平面图形的面积 如果曲线由参数方程给出: x=(1)y=v(t),a≤t≤B. 则将直角坐标系下的面积公式按定积分换元法处理即可 此时要求函数p()和v()满足定积分换元法的条件
2 参数方程形式下平面图形的面积 如果曲线由参数方程给出: x =(t), y =(t), t . 则将直角坐标系下的面积公式按定积分换元法处理即可. 此时要求函数(t)和(t)满足定积分换元法的条件