求星形线x=acos3t,y=asn3t,0≤t≤2 啊4所围成的平面图形的面积 解由对称性,只需求出 第一象限中的面积A,然 后乘以4即可 (1)积分区间x:0→>a时,t:→>0 3丌 (2)微分元素 2 dA=lyldx=asin'td(acos't) 3a sin t cos tdt (3)所求面积 A=44=4 Idx=4(3a sin t cos t)dt 12a22(1-sin't)sintdt 3
例 4解 所围成的平面图形的面 积. cos , sin , 0 2 3 3 求星形线x = a t y = a t t O x y a 2 23 由对称性, 只需求出 , 第一象限中的面积 A1 然 后乘以 4即可. (1) 积分区间 0. 2 : 0 → , : → x a 时 t (2) 微分元素 d | | d sin d( cos ) 3 sin cos d . 3 3 2 4 2 1 A = y x = a t a t == − a t t t (3) 所求面积 = = = − 02 2 4 2 0 A 4A1 4 | y | d x 4 ( 3a sin t cos t)dt a . 83 12 (1 sin )sin d 2 20 2 2 4 a t t t a = − = = t
例5求由摆线x=a(-sin,2y=a(-cos1)的第一拱 0≤t≤2丌)与横轴x所围成的平面图形的面积 解(1)求积分区间 x:0→2za时,t:0→2兀 (2)求微分元素 2Ta x da=lyldx=a()d(a(t-sin t)) a (1-cost)2dt (3)计算面积 2Ta 2丌 ydx (1-cost)dt 0 2 (1-2 cost+cos t)dt=.=3Ta
例 5解 求由摆线 x = a(t −sin t), y = a(1− cost)的第一拱 (0 t 2 )与横轴 x所围成的平面图形的面积. O x y 2a a (1) 求积分区间 x : 0 → 2a 时, t : 0 → 2. (2) 求微分元素 d A =| y | d x = a(1− cost)d(a(t −sin t)) (1 cos ) d . 2 2 = a − t t (3) 计算面积 = = − 20 2 2 20 A | y | d x a (1 cost) dt a (1 2cos cos )d 3 . 2 20 2 2 a t t t a = − + = = t
3极坐标系中平面图形的面积 r=r(6) 求由曲线r=r(0)及射线r=a d e r=B(a<B)所围成的平面图 形的面积时,取θ为积分变量 6 则积分区间为[a,B]剩下的问 O 题是求微分元素和计算积分值 任取一个小区间[0,+d的]c[a,B],在该小区间上 可以用半径为r=r(O),中心角为d的圆扇形的面积近 似代替其上的窄曲边扇形的面积,从而,面积元素为 dA2"(O)d.(微分元素)
3 极坐标系中平面图形的面积 O x d 求由曲线r = r( ) 及射线r =, r = ( ) 所围成的平面图 形的面积时, 取 为积分变量, 则积分区间为[, ]. 剩下的问 题是求微分元素和计算积分值. r = r( ) 任取一个小区间[ , + d ] [, ], 在该小区间上 可以用半径为 r = r( ), 中心角为 d 的圆扇形的面积近 似代替其上的窄曲边扇形的面积, 从而, 面积元素为 ( )d . ( ) 2 1 d A = r 2 微分元素
求由曲线r=r(0)及射线r=a,r=B(a<B) 所围成的平面图形的面积的计算公式为 B 1 d a r()d6. 该公式也称为极坐标系中曲边扇形的面积公式
求由曲线 r = r( ) 及射线 r =, r = ( ) 所围成的平面图形的面积的计算公式为 ( )d . 2 1 d 2 = = A A r 该公式也称为极坐标系中曲边扇形的面积公式
例6求曲线r=asin2O所围成的平面图形的面积 解由对称性,计算出第一象限中的面积4,则A=44 (1)积分区间∈[0,x (2)微分元素 d a=-(asin 20)de x(3)计算面积 A4=42(asin20)2d I-cos 40 d 0
例 6解 求曲线r = asin 2 所围成的平面图形的面 积. O x y• , , 4 . 由对称性 计算出第一象限中的面积 A1 则 A = A1 ]. 2 (1) [0, 积分区间 (2) 微分元素 ( sin 2 ) d . 21 d 2 A1 = a (3) 计算面积 ( sin 2 ) d 21 4 4 20 2 1 = = A A a . 2 d 2 1 cos 4 2 2 20 2 a a = = − =