注意 在应用微分元素法时,要求所计算的量A具有可加性 即在区间[ab上,量A总等于它在该区间的各个子区间上部 分量△A的和 求量A的步骤如下 (1)在区间a,b中任取一小区间x,x+dx; (2)求出A在小区间上的部分量的近似值AA,记为 △A=f(x)dx(微分元素为dA=f(x)dx) (3)计算定积分求出量A在区间[a,b上的值 a=,da=lf(x)dx
在应用微分元素法时, 要求所计算的量 A 具有可加性: 注意 即在区间[a, b]上, 量 A总等于它在该区间的各个子区间上部 分量A的和. 求量 A的步骤如下: (1) 在区间[a,b]中任取一小区间[x, x + d x]; (2) 求出A在小区间上的部分量的近似值A, 记为 A = f (x)d x (微分元素为 d A = f (x)d x) (3) 计算定积分求出量 A在区间[a, b]上的值 d ( )d . = = b a b a A A f x x
平面图形的面积 直角坐标系中平面图形的面积 y=f(x) y=g(x) x=b X三C 求由连续曲线y=f(x),y=g(x)及x=a,x=b 所围成的平面图形的面积
一、平面图形的面积 1 直角坐标系中平面图形的面积 y = f (x) y = g(x) x = a x = b . ( ), ( ) , 所围成的平面图形的面积 求由连续曲线 y = f x y = g x 及 x = a x = b O x y a b
y=f() y=g(x) b x y+ax bx da 任取[x,x+Δx]c[an,b],则微分元素(面积元素)为 d a=lf(x)g(x)dx 于是,所求面积为 A=If(x)-g(x)ldx
任取 [x, x + x] [a, b], 则微分元素(面积元素)为 x x + x d A d A =| f (x) − g(x)| d x 于是, 所求面积为 = − b a A | f (x) g(x)| d x O x y y = f (x) y = g(x) x = a x = b a b
求由连续曲线y=f(x),y=g(x)及x=a,x=b 所围成的平面图形的面积的计算公式为 A=||f(x)-8(x)dx.(a<b) 类似地 求由连续曲线x=0(y),x=(y)及y=c,y=d 所围成的平面图形的面积的计算公式为 A=∫10()-)dy.(e<d
所围成的平面图形的面积的计算公式为 求由连续曲线 y = f (x), y = g(x) 及 x = a, x = b A | f (x) g(x)| d x . (a b) b a = − 求由连续曲线 x =(y), x = ( y) 及 y = c, y = d 所围成的平面图形的面积的计算公式为 A | (y) ( y)| d y . (c d) d c = − 类似地
例1求曲线y=x2与直线x+y=2所围成的平面图形的面积 解(1)求积分区间 联立方程组 B x+y=2 x+y=2 求得交点:4(-2,4),B(1,1) x 积分区间x∈[-2,1 (2)微分元素dA=(2-x)-x2]dx (3)计算面积 A=[(2-x)-x21dx=[2x 4
例 1解 2 . 求曲线 y = x2 与直线x + y = 所围成的平面图形的面积 O x y 2 y = x x + y = 2 − 2 1 A B (1) 求积分区间 联立方程组 2 y = x x + y = 2 求得交点: A(− 2, 4), B(1, 1). (2) d [(2 ) ]d . 2 微分元素 A = − x − x x (3) 计算面积 . 21 ] 4 2 3 [(2 ) ]d [2 12 2 3 12 2 = − − = − − = − − x x A x x x x 积分区间 x [− 2,1]