第1章复数和复平面当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，我们称这两个复数互为共轭复数.复数之的共轭复数用乏表示，即是如果=a十b，则=a一ib.当复数=α十ib的虚部b=0时，有=三，即是任一实数的共轭复数仍是它本身.在复平面上，复数=α十6还可以用由原点引向点的向量来表示，这种表示方式建立了复数集C与平面向量所成的集合的一一对应（实数0与零向量对应）.向量的长度称为复数的模，记为|或r，因此有(1. 1)I2=r=Va+6≥0.显然，[ Re(z) /≤l /≤/ Re(z) /+/ Im(z) [,[Im(2) [≤| /≤/ Re(2) /+/ Im(2) 1.3.复数的运算设复数21=a十ib,2=c十id,则复数的加法由下式定义(1.2)z)+z2=(a+c)+i(b+d)容易看出，这样定义后，复数的加法就可以按照向量的平行四边形法则来进行，如图1.2所示，yA十2,=a+ibT图1.2规定复数的减法是加法的逆运算，即是把满足(c+id)+(r+iy)= a+ib的复数x十iy,称为复数a十ib减去复数c十id的差，记作（a十ib)一（c十id).容易得到(1.3)r+iy=a-c)+i(b-d)复数的乘法定义如下：=(a+ib)(c+id)=ac+ibc+iad+ibd(1.4)=(ac—bd)+i(bc+ad)由乘法的定义，容易得到|2·.这样，当于0时，除法作为乘法的逆运算，可以定义为
复变函数与积分变换-a+ib(a+ib)(c—id)c+id(+id)(c-id)22ac + bd +ibc - ad(1.5)c+dc+d容易验证，加法和乘法满足结合律、交换律及乘法对加法的分配律因此，全体复数在定义上述运算后称为复数域.在复数域内，我们熟悉的关于实数的代数恒等式仍然成立，例如，(21+22)3=2+22122+22,2 —2 =(2) +22)(2)—22),等等.复数的模和共轭复数有下面的性质，其证明留给读者，11(1) Re()=（+),Im（z）=（2一）22i三（w±0）；：（之(2）（+w）=+，w=W(3)|2w|=[[w|:出[z[=[=(4)w(5) /[=[[.4.复数的三角表示和复数的方根考虑复平面C上不为零的点2=十iy.如图1.3所示，这个点有极坐标（r.0)：a一rcos0,y=rsin.显然r=1.0是正实轴与从原点O到的射线的夹角，称为复数的辐角，记为0 = Arg z.显然有tan=六2yA2=r+iy7030图1：3任一非零复数2的辐角有无限多个值，这些值相差2元的整数倍.通常把满足条件：(1.6)—元0元的辐角6称为Arg的主值，记为=arg，于是有
第1章复数和复平面(1.7)Arg2=arg+2k元（k=0，±1，±2,..)利用极坐标表示，复数可以表示为(1.8)=r(cos0+isin0).（1.8）式称为复数的三角形式.再应用欧拉（Euler）公式：eio=cosQ+isin，又可以将复数表示成指数形式=reie(1.9)例1.1求 Arg(- 3— i4).解由（1.7）式可知Arg(—3—i4) = arg(—3—i4)+2k元(k = 0.±1,±2,..).二，点一3—i4位于第三象限知再由tan6=7(-4)arg(—3i4) =arctanarctan(-3)3所以有Arg(—3i4)arctan+（2k一1)元（k=0,±1，±2,...）.3例1.2计算之=e解2=el=cos元十isin元=例131把复数/3十i表示成三角形式和指数形式3COS0=解r=V3+1=2,2因为与/3十i对应的点在第一象限，所以arg(/3十i)二元.于是可得三角表示形式为3+i=2（cos+isin）指数表示形式为3 +i= 2ef.下面利用复数的三角形式，讨论复数乘法的几何意义，设复数2分别写成三角形式2=r,(coso,+isino)
复变函数与积分变换2=r2(cos2+isin02).根据复数的乘法法则及正弦、余弦的三角公式，有z22=r(cos+isin)r(cos+isin)=rr.L(coso,cos0sino,sino,)+i(sino,cos,+coso,sin0)rrcos(0+0)+isin(0,+0)]上面我们得到的三角形式的公式，用指数形式表示出来，可得ziz2=rielfir2elg=rir2eko+(1.10)由此得 2122 /= rir2 = 21 I/ 22 1,(1.11)(1.12)Arg(&) = Arg & +Arg 22.图1.4说明了复数相乘的几何意义，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和，yA2图1.4注（1.12）式不能写成是arg（）=arg十arg，这是因为该式两边表示都是辐角的主值，而（1.12）式表示的是两个无穷集合左边一项可对应右边一项.由（1.11）式、（1.12）式可得[,Arg=Arg+Arg 2,1 21[=22即是2Arg = = Arg -Arg 22.(1.13)一4.9.1222由此可见，两个复数的商的模等于它们模的商，商的辐角等于被除数的辐角与除数的辐角的差，现在讨论复数的乘方和开方问题.设复数re，它的n次幂可利用（1.10）式，由归纳法得=Er(cos+isin)"=r"(cosの+isinの)(1.14)=r"(cosng+isinno)=ems,从而有2"-=—2
第1章复数和复平面其中n为正整数.当r=1时，得棣莫弗（DeMoivre）公式：(1.15)(cosの+isin)"=cosno+isinng复数的n次方根是复数n次乘幂的逆运算，下面我们介绍复数的n次方根的定义和求法。设三re是已知的复数，n为正整数，则称满足方程：w=2的所有的复数为的n次方根，并且记为W=派.我们用复数的指数形式来讨论复数的n次方根，步骤是：先假定有n次方根，再找出这些根设w=pei，则根据复数的n次方根的定义和（1.14）式，得w"= p"e=rei,记0%=arg，则有#出版p=r，ng=%+2k元（k=0,±1,±2.解得p=F，9=+2k元n其中是算术根，所以w-()re(k=0,1,2...,n—1).(1.16)若记=近e%，则w可表示为W=We(k=0,1,2,,n-1).(1.17)这就是说，复数的n次方根是个复数，这些方根的模都等于这个复数的模的n次算术根，它们的辐角分别等于这个复数的辐角与2元的0，1，2.，n一1倍的和的n分之一.在复平面上，这n个根均匀分布在以原点为中心、沂为半径的圆周上，它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点(见图1.5).y图1.5