目录 第1章 复数和复平面 ............... §1.1 复数 2 §1.2 复平面点集 8 §1.3 扩充复平面及其球面表示 11 小结 12 习题1 12 第2章 解析函数 ................. 14 2.1 复变函数的概念、极限与连续性·.... ......................... 15 §2.2 21 §2.3 函数可导与解析的充要条件 ..... 25 2.4 初等函数 .. 28 小结 ...·. 36 习题2 ..................... 38 第3章 复变函数的积分 41 3.1 复变函数积分的概念 42 §3.2 柯西-古萨定理及其推广 46 §3.3 柯西积分公式及其推论 53 §3.4 解析函数与调和函数的关系 59 小结 62 习题3 63 第4章 解析函数的级数表示法 66 §4.1 复数项级数 ...... 67 §4.2 幂级数 70 §4.3 解析函数的泰勒展开 76 §4.4 解析函数的罗朗展开 80 ·1·
复变函数与积分变换 §4.5 孤立奇点 84 小结 89 习题4 91 第5章 留数理论及其应用 94 §5.1 留数 95 §5.2 留数在积分计算上的应用 101 小结 107 习题5 108 第6章 共形映射 110 §6.1 共形映射 111 6.2 分式线性变换 115 §6.3 确定分式线性变换的条件 118 §6.4 几个初等函数所构成的映射 ..................... 121 小结 124 习题6 125 第7章 傅里叶变换 127 §7.1 傅里叶变换的定义 ·..·........ 128 §7.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换 134 7.3 傅里叶变换的性质 138 §7.4 卷积 ............· 141 小结 143 习题7 144 第8章 拉普拉斯变换 146 8.1 拉普拉斯变换的定义 147 §8.2 拉普拉斯变换的性质 152 8.3 拉普拉斯逆变换 159 §8.4 拉普拉斯变换的应用 162 小结 165 习题8 166 2
目 录 第9章 快速傅里叶变换 .............................................................. 169 9.1 离散时间傅里叶变换 ............................. 170 9.2 Z变换简介 172 9.3 离散傅里叶变换 ................................................ 173 9.4 快速傅里叶变换 ................................................................ 176 小...................................... 180 习题9 182 附录一 傅里叶变换简表 .............................................................. 183 附录二 拉普拉斯变换主要公式表 ........................................ 186 附录三 拉普拉斯变换简表 .......................... 187 附录四 习题参考答案 192 参考文献 北京大学出版社 200 ·3·
第1章复数和复平面章介绍复数的定义、运算，复平面点集和扩充复平面，为本后面的复变函数的研究做准备北京大学出版社
复变函数与积分变换数复$1.11.复数的概念形如2=a+ib或2=a+bi的数称为复数，其中a和b为实数，i称为虚单位，即是满足=一1.全体复数的集合称为复数集，用C表示.对于复数一α十ib，α与6分别称为复数2的实部和虚部，记作a= Re(z), b = Im(z).当且仅当虚部b=0时，=a是实数：当且仅当a=b=0时，就是实数0；当虚部b0时，称为虚数；当实部α=0且虚部b手0时，=证称为纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集.如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们称这两个复数相等，这样，一个复数等于零，当且仅当它的实部和虚部同时等于零，一般情况下，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，2.复数的向量表示和复平面根据复数相等的定义，我们知道，任何一个复数≥=α十ib，都可以由个有序实数对（a,b)唯一确定：我们还知道，有序实数对（a.b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的.由此，可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应如图1.1所示，点z的横坐标是α，纵坐标是b.复数z=a十ib可用点（α，6）表示，这个建立了用直角坐标系表示复数的平面称为复平面，工轴称为实轴，y轴称为虚轴.显然，实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点表示纯虚数.今后，我们说点（a，b）与复数z=α十表示同一意义y=Q+ibb=Im(2)2(a,b)a=Re(a)10图1.1