复变函数与积分变换例1.4求1—i的立方根，解因为1一i=V2e-，所以1一i的立方根是2e4=N2F（k=0,1,2),即2e-i2ei2e.例1.5计算n次单位根解1=e，由（1.16）式给出单位根如下：I.e,e,.特别地，立方单位根是-1-(-1+i/3).1.出版81.2复平面点集我们研究的许多对象———解析函数、保角变换等间题，首先遇到的是定义域和值域的问题，这些都是复平面上的一种点集.在此，我们先介绍复平面上的点集的概念，平面点集的几个概念（1）邻域.集合D(z.0)=(2:2-2[<)(1.18)称为的邻域，其中>0.D(20.8)1(20)=(z:0<12-21<8)称为。的去心邻域，（2）内点、开集.若点集E的点2。，有一个2。的邻域D（20，8)CE，则称2。为E的一个内点；如果点集E中的点全为内点，则称E为开集（3）边界点，边界.如果点2。的任意邻域内，既有属于E中的点，又有不属于E中的点，则称。为E的边界点；集合E所有边界点称为E的边界，记作aE（4）区域.如果点集E内的任何两点可以用包含在E内的一条折线连接起来，则称点集E为连通集.连通的开集称为区域
第1章复数和复平面区域E和它的边界aE的并集称为闭区域，记为E.（5）有界区域.如果存在正数M,使得对一切EE，有|≤M,则称E为有界集.若区域D有界，则称D为有界区域（6）简单曲线，光滑曲线.设r（t）和y（t）是实变量t的两个实函数，它们在闭区间α，β上连续，则由方程组=r,(y=y(t)或复值函数z(t) =r(t)+iy(t)定义的集合T称为复平面上的一条曲线，上述方程称为曲线T的参数方程.点A=（α）和B=2（β)分别称为曲线的起点和终点.如果当tE（α.B)，tE[αβ].t1≠t时，有（t）≠（t2），称曲线为简单曲线，也称为若尔当（Jordan）曲线.（α）=（β）的简单曲线称为简单闭曲线例如，圆周z=rcost,y=rsint(tE[o,2元就是简单闭曲线.如图1.6所示，用复数表示为Iz[=r.V图1.6我们容易证明圆|21一r将平面分为两个不相交的区域，由不等式「<和「之|>r所规定，这两个区域以圆周为边界.这个结果是以下若尔当定理的特例定理1.1一条简单闭曲线将平面分成两个不相交的区域，以曲线T为公共边界这两个区域，一个是有界的，称为的内部；一个是无界的，称为的外部如果曲线r在Lα.β上有a（t）和y（t）存在、连续，而且不同时为零，则称曲线1为光滑曲线，由有限条光滑曲线连接而成的曲线，称为分段光滑曲线
复变函数与积分变换（7）单连通区域.设D为复平面上的区域，如果在D内的任意简单闭曲线的内部均属于D，则称D为单连通区域，否则就称为多连通区域2.直线和半平面设L表示C中的直线，从解析几何知道，L是由C上的一个点和一个方向向量决定的.如果α是C上的任一点，b是某一方向向量，那么L=2=a+tb:-<1<+).由于b≠0，因此就给出，对于L上的，有Im(==0事实上，如果满足等式：0=Im那么00.因此蕴含着Tz: Im()= 0l(1.19)集合京大z2:lm()>0(1.20)和)<0z:Im(1.21)的轨迹是什么呢？首先考虑简单的情形.注意到6是一个方向，我们可以假定「b|=1.a=0的情形.记H。= (α:Im(云)>0b=e，如=rei，则兰=reo-.于是EH。，当且仅当sin(0一β)>0，h即β<0<元十β.所以，如果我们"按照6的方向沿着L前进”,H。是位于L的左边的半平面.如果我们令Ha,= (α:Im()>0),那么容易看出，H.=a十H，=a十w:wEH.，即H.是由半平面H.平移αa而得到的，因此，H。是位于L的左边的半平面.类似地，K=(α:Im()<0)是位于L的右边的半平面10
第1章复数和复平面81.3扩充复平面及其球面表示在复函数中，常常遇到这样一些函数，当自变量趋于一个给定点时，函数值趋向无穷.为了研究这样的情形，有必要将复数系统加以扩充，引入一个数o.在微积分中，o不是一个定值，它代表的是变量无限增大的符号：而在我们这里，把它作为二个定值，它的运算规定如下设α是异于o的一个复数，我们规定：(1)a±8,则a十8=8十a=8;(2）a0.则a.0=.a=;(3)α≠80,则%=0,==00:O（4）α≠0.则%=00;0（6）为了避免和算术定律相矛盾，对08+8.0不规定其意义，在复平面上没有一点与对应，但是我们可以设想平面上有一个理想点和它对应.这个理想点称为无穷远点.复平面加上，称为扩充复平面C=CU（0）.为使|00|+的规定合理，我们规定扩充复平面上只有一个无穷远点，为使无穷远点的存在得到直观的解释，我们建立扩充复平面C的球面表示法.如图1.7所示，记R中的单位球面为S=((i.a):r+r+r=1).2AN(0,0,1)1图1.7设N=（0.0,1）为S上的北极点，把C等同于R中的点集(i,r2,0）：21r2ER)于是C沿赤道切割S.对于复平面C内任意一点，用直线将与北极点N相连接，此直线与球面S恰好交于一点Z主N.若
复变函数与积分变换>1那么Z位于北半球面上：若1,Z点位于南半球面上若1=1.那么Z=当1|→十80时.Z怎样变化呢?很显然.Z→N.因此，我们就把N与扩充复平面中的o等同起来，这样，扩充复平面C就与球面S之间建立了二一对应的关系.这样的球面称为复球面，它是扩充复平面的几何模型小结本章的主要内容是复数的有关概念，复数的代数形式与向量形式，复数的代数形式的运算，复数的三角形式的运算·复指数和开方·复平面点集，扩充复平面：大多数内容是高中阶段学习过的，我们主要复习一下其中的主要性质，对于复指数和开方运算，特别是开方运算，要重点掌握，因为与后面的幂函数和多值性直接相关复平面点集是多元微积分中的平面点集的复数表示，可以与平面点集的内容相对照，扩充复平面是一个新的概念，要求读者对于其几何意义要加深理解.重要术语及主题放复数的模复数的四则运算复数实部虚部共轭复数三角形式指数形式边界开集闭集区域辐角方根邻域内点边界点简单曲线光滑曲线若尔当定理无穷远点扩充复平面习题1次1用复数的代数形式a+6表示下列复数：(2)3+5i(1) e-it :71+13(4)++(3)(2+i)(4+3i):2.求下列各复数的实部和虚部（z=z+iy）：()(aER):(2)2+0(3)(=1+iv3)(0) (-1-iv3)22(5)in.3.求下列复数的模和共轭复数：(1)-2+i:(2)-3;(4) 1ti(3)(2+(3+2i)：24证明：当且仅当2=三时，2是实数.12