我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形， 综上，三角形按边的相等关系分类如下： 三边都不相等的三角形 三角形 (底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形 下面探究三角形三边之间的大小关系 三角形 ①探究 任意画一个△ABC,从点B出发，沿三角形的边到点C,有几条线 路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？ 对于任意一个△ABC,如果把其中任意两个顶点（例如B,C)看成定 点，由“两点之间，线段最短”可得 AB++AC>BC ① 同理有 AC+BC>AB AB++BC>AC. ③ 一般地，我们有 三角形两边的和大于第三边 由不等式②③移项可得BC>AB一AC,BC>AC-AB.这就是说，三角 形两边的差小于第三边 例用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形 (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm x+2x+2x=18. 解得x=3.6. 所以，三边长分别为3.6cm,7,2cm,7.2cm. (2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论 第十一章三角形3
如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm,则 4+2x=18. 解得x=7. 如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm,则 2×4+x=18. 解得x=10. 因为4十4<10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长 是4cm的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形 练习 1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形. 2,(口答)下列长度的三条线段能否组成三角形？为 什么？ (1)3,4,8:(2)5,6,11;(3)5,6,10. 第】负 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已 经学过的三角形的高.如图11.1-3，从△ABC的顶点 A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所 得线段AD叫做△ABC的边BC上的高(altitude). 用同样方法， 你能画出AABC的 另两条边上的高吗？ 图11.1-3 我们再来看两种与三角形有关的线段. 如图11.1-4(1)，连接△ABC的顶点A和 用同样方法 它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做 你能画出△ABC 的另两条边上的中 △ABC的边BC上的中线(median). 线吗？ 第十一章三角形
取一块质地均匀的 三角形木板，顶住三条 1) 2 中线的交点，木板会保 图11.1-4 持平衡，这个平衡点就 是这块三角形木板的 如图11.1-4(2)，三角形的三条中线相交于 重心， 一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 B D 图11.1-5 画出△ABC的 如图11.1-5，画∠A的平分线AD,交∠A所 另两条角平分线 对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的 观察三条角平分线， 角平分线(angular bisector). 你有什么发现？ 练习 1.如图，(1)(2)和(3)中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边BC上的 高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ 2 (第1题) 2.填空： (1)如下页图(1)，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB=2 BD=一，AE=2一 (2)如下页图(2)，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ∠3= ,∠ACB=2 第十一章三角形5
第2题 11.1.3三角形的稳定性 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架（图11.1-6(1）)，其 中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上 斜钉一根木条（图11.1-6(2）).为什么要这样做呢？ (2) 图11.1-6 ①探究 如图11.1-7(1)，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭 动它，它的形状会改变吗？ 如图11.1-7(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭 动它，它的形状会改变吗？ 如图11.1-7(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻 的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ 图11.1-7 可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变.这 就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性. 6第十一章三角形
还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.这是因为斜钉 一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的 窗框在未安装好之前也不会变形. 三角形的稳定性有广泛的应用，图11.1-8表示其中一些例子.你能再举 些例子吗？ 钢架桥 起重机 图11.1-8 四边形的不稳定性也有广泛的应用，图11.1-9表示其中一些例子 活动挂架 伸缩门 图11.1-9 练习 下列图形中那些具有稳定性？ (5) (6) 第十一章三角形7