例5.某项任务完成所需时间7~N(100,5)规定 该项任务若在100天之内完成则得奖金10000元,若 在100天至11天内完成,则得奖金1000元,若超过 115天,罚款5000,求完成任务获得的平均奖金数 解:设Y是完成该任务所获奖金数,则 Y的可能取值为100001000,-5000 由T~N(100,52)得 115-100 PY=-500Pl7>115}=1-c(5 1-c(3)=0.0013 P{Y=1000}=P100≤T≤115}=04987
例5. 某项任务完成所需时间 T ~ (100, 5 ) 2 N 该项任务若在100天之内完成则得奖金10000元，若 在100天至115天内完成，则得奖金1000 元 , 115 天, 罚款5000 , 求完成任务获得的平均奖金数 解: ~ (100, 5 ) 2 由 T N 得 ,规定： 若超过 设Y 是完成该任务所获奖金数，则 Y的可能取值为10000, 1000, -5000 ) 5 115 100 1 ( − P{Y = −5000} = P{T 115} = − =1−(3) = 0.0013 P{Y =1000} = P{100 T 115} = 0.4987
已求出 P{Y=-5000}=0.0013 P{Y=1000}=0.4987 P{Y=10000}=P{0<7<100 =d(0)-Φ(-20)≈0.5-0=0.5 从而Y的y 5000100010000 分布律为Pk00010498705 E(Y)=-5000×0.0013+1000×0.4987+10000×0.5 5492.2
P{Y =10000} = = (0) −(−20) 从而Y 的 分布律为 0.5 10000 0.0013 -5000 0.4987 1000 k p Y P{Y = −5000} = 0.0013 P{Y =1000} = 0.4987 已求出: = 5492.2 E(Y) = −50000.0013+10000.4987 +100000.5 P{0 T 100} 0.5−0 = 0.5
二、随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X的分布,我们需要计算的不是X 的期望,而是X的某个函数g(X)的期望 那么应该如何计算呢? 种方法:因为g(X)也是随机变量,故应有概率分布, g(X)的分布可以由已知的X的分布求出来 知道了g(X)的分布按照期望的定义把E[g(X)]计算出来 Q团
二、随机变量函数的数学期望 那么应该如何计算呢？ 设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望. 按照期望的定义把E [ g(X ) ]计算出来. 一种方法：因为g( X )也是随机变量，故应有概率分布， g( X )的分布可以由已知的X 的分布求出来. 知道了g(X )的分布
Eg:已知X的分布律为x-1012 Pk1/41/81/43/8 求数学期望。 解 X21014 Pk1/41/81/43/8 E(2)=(-12+00/.1 +2 2
( ) 2 E X 解: 2 8 3 2 4 1 1 8 1 0 4 1 ( 1) 2 2 2 2 = − + + + = 已知X 的分布律为 求 X 的数学期望 2 。 pk X 1/4 1/8 1/4 3/8 Eg: -1 0 1 2 pk 2 X 1/4 1/8 1/4 3/8 1 0 1 4
定理1设Y=g(X)(g为连续函数) ()设为离散型随机变量,其分布律为 P{X=xk}=Pk2(k=1,2,3,…) 若级数∑g(x)P绝对收敛 则(1)的数学期望为E(Y)=E(8(X)=∑g(xk)Pk (2)设λ为连续型随机变量,其概率密度为f(x), 若∫8(x)f(x)绝对收敛 则9(的数学期望为E(Y)=E(g(X)=8(x)f(x)x
定理1 设 Y g X = ( ) ( g为连续函数 ) ⑴ 设X为离散型随机变量，其分布律为 P{X = x } = p ,(k =1,2,3, ) k k 1 ( ) k k k g x p = 若级数 绝对收敛, 则g(X) 的数学期望为 1 ( ) ( ( )) ( ) k k k E Y E g X g x p = = = ⑵ 设X为连续型随机变量，其概率密度为f (x), 若 g x f x dx ( ) ( ) 绝对收敛, + − 则g(X) 的数学期望为 E Y E g X g x f x dx ( ) ( ( )) ( ) ( ) + − = =