元穷小的比较 、无穷小的比较 例如,当x→>0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小 2 m x2比3x要快得多; 03x 观察各极限一 lim sine sinx与x大致相同; x→0x r sin lim x= lim sin1不存在不可比 0 x→0 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不 同
无穷小的比较 一、无穷小的比较 例如, . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 观 察 各 极 限 x x x 3 lim 2 →0 = 0, 3 ; x 2比 x要快得多 x x x sin lim →0 = 1, sin x与x大致相同; 2 2 0 1 sin lim x x x x→ x x 1 lim sin →0 = 不存在. 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同
定义:设a,B是同一过程中的两个穷小,且α≠0 (1)如果imp=0就说β是比α高阶的无穷小 记作β=0(x) (2)如果imP=C(C≠0),就说β与a是同阶的无穷小 特殊地如果limP=1,则称β与α是等价的无穷小 记作a~β (3)如里1B=CC≠0,k>0,就说是a的阶的 无穷小
定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. ( ); (1) lim 0, , = = 记作 o 如果 就说 是比 高阶的无穷小 (2) 如果lim = ( 0),就说与是同阶的无穷小; C C ~ ; lim 1, ; = 记作 特殊地 如果 则称 与 是等价的无穷小 . (3) lim ( 0, 0), 无穷小 如果 k C C k 就说是的k阶的 =
例1证明:当x→0时,4xtan3x为x的四阶无穷小 4xtan'x 解lim tan x 4=4im 0 0 故当x→>Q时,4xtan3x为x的四阶无穷小 例2当x→0时,求tnx-sinx关于x的阶数 tanx-sinx 解 lim =Dn、tanx1-c0sx、1 x→0 x→0x 2 2 tanx-sinx为x的三阶无穷小
例 1 : 0 ,4 tan . 证明 当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 解 4 3 0 4 tan lim x x x x→ 3 0 ) tan 4lim ( x x x → = = 4 , 0 ,4 tan . 故当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 例 2 当x → 0时,求tan x − sin x关于x的阶数. 解 3 0 tan sin lim xx x x − → ) tan 1 cos lim( 2 0 x x x x x − = → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小
常用等价无穷小:当x→>Q时, sinx, arcsinx x, tanx x, arctan, In(1+x)-x, elx, 1-cosx.x √1+x- 队1+x-1~1 2 (1+x)-1~a 注1.上述10个等价无穷小(包括反、对、幂、 指、三)必须熟练掌握 2将x换成f(x)→>0都成立
常用等价无穷小: 当x → 0时, . 2 1 ln(1 ) ~ , 1 ~ , 1 cos ~ tan ~ , arctan ~ , sin ~ , arcsin ~ , 2 x x e x x x x x x x x x x x x + − − x x 2 1 1+ −1 ~ x n x n 1 1+ − 1 ~ x x (1+ ) − 1 ~ 注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、 指、三）必须熟练掌握 2.将x换成f (x) → 0都成立
用等价无穷小可给出函数的近似表达式: c lim l,;lim→P=0,即a-β=0(a), 于是有α=B+o(a).同理也有B=a+0(B) 一般地有a~B分B=a+0(a) 即a与f等价≥与互为主要部分 例如,Sinx=x+0(x),cosx=1-x2+0(x2) 2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim = 1, lim = 0, − 即 − = o(), 于是有 = + o(). 同理也有 = + o( ) 一般地有 ~ = + o() 即α与β等价 α与β互为主要部分 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 cos 1 2 2 x = − x + o x