3、定义2设连续型随机变量X的概率密度为∫(x) 如果」x/(xk绝对收敛,则称∫x/x)k 为X的数学期望。简称期望或均值,记为E(X 即E(X)=xf(x)hk 4、几种常用连续型分布的期望 (1)均匀分布 f(x)=b-asa≤x≤b E(X)=「xf(x)a=/+ 其它 atb x a b 2(b-a)2
设连续型随机变量X 的概率密度为 x f x dx ( ) + − 为X 的数学期望。 x f x dx ( ) + − 3、定义2 如果 f (x), 绝对收敛，则称 简称期望或均值，记为 E (X) . 即 E X xf x dx ( ) ( ) + − = 4、几种常用连续型分布的期望 (1) 均匀分布 = − 0, 其它 , 1 ( ) a x b f x b a + − E(X) = xf(x)dx − = b a dx b a x b a b a x 2( ) 2 − = . 2 a + b =
(2)指数分布/(x)=2ex>0 0x<0 +∞ E(X)= xf(r)dx= xhe dx race 0 0 edx 0 0 (3)正态分布X~N(4,2) (x-1 f(x)= e 2 -0<x<+∞, 2丌0 E(X)=
(2) 指数分布 ( ) = − 0 0 0 x e x f x x (3) 正态分布 E(X ) =
注:1、并不是任何随机变量都存在期望。 (要满足绝对收敛的条件) 反例:P{X=k} ,k=1,2,… k(k+1) k ∑|=∑ 1=∑ 发散的 k=1 kk(k+1)k+1 2、E(是一个常数,表示的是随机变量取值的平均, 与一般算术值不同,它是以概率为权的加权平均, 反映了随机变量取值集中在均值附近
注：1、并不是任何随机变量都存在期望。 （要满足绝对收敛的条件） 反例： 2、E(X)是一个常数，表示的是随机变量取值的平均， 与一般算术值不同，它是以概率为权的加权平均， 反映了随机变量取值集中在均值附近。 发散的
例4、有5个独立工作的电子装置它们的寿命服从同一个 指数分布,概率密度为(x)=ekx>0 0x≤0 (1)若将这5个电子串联工作组成整机,求整机寿命N的 数学期望。 (2)并联成整机,求整机寿命M的数学期望。 解:设寿命分别为随机变量X,k=1,2,3,4,5 (1)N=min{X12…,X5} Fmn(x)=1-[1-F(x 1-e,x>0 0.x<0
例4、有5个独立工作的电子装置,它们的寿命服从同一个 指数分布，概率密度为 ( ) = − 0 0 0 x e x f x x (1)若将这5个电子串联工作组成整机，求整机寿命N的 数学期望。 (2)并联成整机，求整机寿命M的数学期望。 解： (1)
fmin(x) 5ex>o 0.x<0 E(N) (2)M=max{X1,…,X5 类似,f(x)= ∫5Ae(l-e2),x>0 0.x<0 +∞0 137 E(M)= rmax(x )dx E(M ≈114 60 E(N
(2) 11.4 ( ) ( ) E N E M