例设向量组a1,a2,a3线性无关,月1=a1+a2, B2=a12+a3,B3=a3+a1,试证向量组B1,B2,B3也 线性无关。 证对任意的常数都有 k1B1+k2B2+k3B3=(k1+k3)a1+(k1+k2)ax2+(k2+k3) 设有kn2k2k3,使k1B1+k2B2+k3/3=0 由ax1,a2,ax3线性无关,故有 k1+k3=0 k1+k,=0 k,+k2=0 由于满足k,k2k的取值只有k=k2=k3=0 上页 所以,B2,B3线性无关。 下页
上页 下页 例 设向量组 线性无关， ， ， ，试证向量组 也 线性无关。 1 2 3 , , 1 =1 +2 2 =2 +3 3 = 3 +1 1 2 3 , , 证 对任意的常数都有 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 3 1 1 2 2 2 3 k + k + k = k + k + k + k + k + k 设有k1 ,k2 ,k3 ,使 k1 1 + k2 2 + k3 3 = 0 由 1 , 2 , 3 线性无关，故有 + = + = + = 0 0 0 2 3 1 2 1 3 k k k k k k 由于满足k1 ,k2 ,k3的取值只有k1=k2=k3 =0 所以 1 , 2 , 3 线性无关
定理1向量组a1,a2,…ac,(2)线性相关的充要条件 是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。 证设a1,a2,a,中有一个向量能由其他向量线性表 出,a,=k,a,+k 3 +…+k a1+k2a2+…+k,a 0 所以a12a2a,线性相关。 如果a1,a2a,线性相关,就有不全为零的数 k,k2,…,k,使ka1+k,a,+…ka=0 设k0,那么 a.即a能由a2,a3,a,线性 k k1 表出 下页
上页 下页 定理1 向量组 （s≥2）线性相关的充要条件 是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。 s , , 1 2 证 设 中有一个向量能由其他向量线性表 出， s , , 1 2 s s 1 = k2 2 + k3 3 ++ k −1 + k2 2 ++ ks s = 0 所以 1 , 2 , s 线性相关。 s , , 如果 1 2 线性相关，就有不全为零的数 k1 ,k2 ,…,ks，使 k1 1 + k2 2 +ks s = 0 设k1≠0,那么 s s k k k k k k 1 3 1 3 2 1 2 1 = − − −− 即 能由 线性 表出。 1 s , , 2 3
例如,向量组 a1=(2,-1,3,1)a2=(4,-2,5,4)a3=(2,-1,4,-1) 是线性相关的,因为 C32=30x1-C, 上页 下页
上页 下页 例如，向量组 是线性相关的，因为 3 = 31 − 2 (2, 1,3,1) 1 = − (4, 2,5,4) 2 = − (2, 1,4, 1) 3 = − −
定理2设向量组月,2,…B线性无关,而向量组 B,B2,…,B,a线性相关,则a能由向量组B,B2,…,B 线性表出,且表示式是唯一的 证由于B1,B2…,月,a线性相关,就有不全为零的 数kn2k2y,kk,使 月1+k2B2+…+k,B1+ka=0 由B1,B2,…B线性无关有k0。 kyβ、k B2 k B 即a可由,月2,…,月线性表出 上页 下页
上页 下页 定理2 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由向量组 线性表出，且表示式是唯一的。 t , , 1 2 1 , 2 , , t , t , , , 1 2 证 由于 线性相关，就有不全为零的 数k1 ,k2 ,…, kt ,k，使 1 , 2 , , t , k1 1 + k2 2 ++ kt t + k = 0 由 1 , 2 , t 线性无关有k≠0。 t t k k k k k k = − − 2 −− 2 1 1 即 可由 1 , 2 , , t 线性表出
设a=l1B1+l22+…+1B1=h1B1+h2B2+…+h,月 为两个表达式。 a-a=(l1B1+l2B2+…+l1B1)-(1B1+h2B2+…+h,B1) =(1-h1)B1+(l2-h2)B2+…+(1-h1)B1=0 且B1,B2,…月线性无关 得到l1=h1,l2=h2y…,l=h 因此表示式是唯一的。 上页 下页
上页 下页 设 = l 1 1 + l 2 2 ++ l t t = h1 1 + h2 2 ++ ht 为两个表达式。 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 = − + − + + − = − = + + + − + + + t t t t t t t l h l h l h l l l h h h 且 1 , 2 , t 线性无关 得到 l 1=h1 , l 2=h2 , …，l t=ht 因此表示式是唯一的