用随机变量表示事件A =(@|X(@)L)=(XeL)XeL也可以是等式或是不等式。如在般子试验中，用X表示出现的点数，则A="出现偶数点”可表示为：{X=2}U(X=4)U(X=6)BP(A出现的点数+于4必-可表示为2)+XX-4或X3）P(B)=P(X<4)=P(X≤3)U
6 ◼用随机变量表示事件 = {X L} 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 A=“出现偶数点”可表示为：{X=2} {X=4} {X=6} B=“P(A)=P( 出现的点数小于４”可表示为： {X=2} {X=4} {X=6}) {X< 4}或{X3} P(B)=P(X< 4)=P(X3) A { | X( ) L} = X L 也可以是等式或是不等式。 =P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)
随机变量的分布函数Distribution Function分布函数的定义设X为一随机变量,则对任意实数x，X≤x)是一个随机事件，称F(x)= P(X≤xOF(x)是一个普为随机变量X的分布函数通的函数！定义域为（一8，十8）;值域为［o,1」KU
7 二、 随机变量的分布函数 设X为一随机变量,则对任意实数x，{X≤x} 是一个随机事件，称 为随机变量X的分布函数 定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。 F(x)是一个普 通的函数！ Distribution Function ◼ 分布函数的定义 F P X ( ) x x = ( )
分布函数的性质■单调不减性若x <x2 ,则F(x)≤F(x2)■右连续性F(x +O) = lim F(x)= F(xo)X-→Xo非负有界性0≤ F(x) ≤1■规范性F(-o0)= lim F(x)=0, F(+oo)= lim F(x)=1X-→+00X→-00不可能事件F(-0) = P(X <-0)必然事件F(+0) = P(X < +00)反之，具有上述四个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该四个性质是分布函数的充分必要性质KU
8 分布函数的性质 ◼单调不减性 ◼非负有界性 0≤ F(x) ≤1 ( ) lim ( ) 0, ( ) lim ( ) 1 x x F F x F F x →− →+ − = = + = = 1 2 若x x 1 2 , ( ) ( ) 则F x F x F P X ( ) − = − ( ) 不可能事件 F P X ( ) + = + ( ) 必然事件 ◼右连续性 0 0 0 ( 0) lim ( ) ( ) x x F x F x F x → + = = 反之，具有上述四个性质的实函数，必是某个随机变量的 分布函数。故该四个性质是分布函数的充分必要性质。 ◼规范性
问一间1是不是某一随机变量的分布函数？F(x)1+ x不是lim F(x) = 0因为x-→+801(x≤0)函数G(x) =可作为分布函数1+ x(x>0)U
9 2 1 ( ) 1 F x x = + 是不是某一随机变量的分布函数？ 不是 因为 lim ( ) 0 x F x →+ = 函数 2 1 ( 0) ( ) 1 1 ( 0) x G x x x = + 可作为分布函数
例2设一袋中，依次有标着一1、2、2、2、3、3数字的6个球从中任取一球，令X表示所取球上的数字，求X的分布函数。解X可能取的值为一1,2，3，且F(x) = P(X ≤ x)111P(X = -1) =P(X = 2) =P(X =3)=3'26当x<-1时， {XSx} 是一个不可能事件，故 F(x)=P(X≤x)=0,当-1≤x<2时,， {X≤x} =(X=一1),故 F(x)=P(X≤x)= P(X =-1):6当2≤x<3时,[ X≤x] =[X=一1)U(X=2}, 故2F(x) = P(X ≤ x) = P(X = -1) + P(X = 2) =3’当3≤x时，【X<x}是一个必然事件，故F(x) = P(X ≤x)=1,0,x<-1,即，X的分布函数为1/6,-1≤x<2,F(x) =2/3,2 ≤x<3,[1,3≤x.U
10 例2 设一袋中，依次有标着－1、2、2、2、3、3数字的6个球， 从中任取一球，令X表示所取球上的数字，求X的分布函数。 解 X可能取的值为－1,2，3，且 1 ( 1) 6 P X = − = 1 ( 2) , 2 P X = = 1 ( 3) , 3 P X = = 当x＜-1时，｛X≤x｝是一个不可能事件，故 F x P X x ( ) ( ) 0, = = 当-1 ≤x<2时，｛X ≤ x｝={X=－1}，故 F x P X x P X ( ) ( ) ( 1) = = = − 1 , 6 = 当2 ≤x<3时， ｛X ≤ x｝ ={X=－1}∪{X=2}，故 F x P X x P X P X ( ) ( ) ( 1) ( 2) = = = − + = 2 , 3 = 当3 ≤ x时，｛X≤x｝是一个必然事件，故 F x P X x ( ) ( ) 1, = = 即，X的分布函数为 0, 1, 1/ 6, 1 2, ( ) 2 / 3, 2 3, 1, 3 . x x F x x x − − = F x P X x ( ) ( ) =