讲稿第一章概率论的基本概念一、基本概念1.随机试验2.样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母2表示（本书用S表示）每个结果叫一个样本点3.随机事件2中的元素称为样本点，常用の表示。（1）样本空间的子集称为随机事件（用A，B表示）。（2）样本空间的单点子集称为基本事件。(3）实验结果在随机事件A中，则称事件A发生。(4)必然事件2.(5)不可能事件Φ。(6）完备事件组（样本空间的划分）4.概率的定义（公理化定义）5.古典概型随机试验具有下述特征：1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个：2）每个基本事件出现的可能性是相等的：称这种数学模型为直典概型，k_A包含的基本事件数P(A)_基本事件总数n6．几何概型A的长度（面积、体积）P(A)= Q的长度（面积、体积）7.条件概率P(AB)设事件B的概率p(B)>0.对任意事件A，称P(AIB)=P(B)为在已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。8．条件概率的独立性
讲 稿 第一章 概率论的基本概念 一、基本概念 1. 随机试验 2. 样本空间 试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母 表示（本 书用 S 表示）每个结果叫一个样本点. 3．随机事件 中的元素称为样本点，常用 表示。 (1) 样本空间的子集称为随机事件(用 A,B 表示)。 (2) 样本空间的单点子集称为基本事件。 (3) 实验结果在随机事件 A 中，则称事件 A 发生。 (4) 必然事件 。 (5) 不可能事件 。 (6) 完备事件组（样本空间的划分） 4．概率的定义（公理化定义） 5．古典概型 随机试验具有下述特征： 1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个； 2）每个基本事件出现的可能性是相等的； 称这种数学模型为古典概型。 = 。 6．几何概型 的长度（面积、体积） 的长度（面积、体积） = A p(A) 7．条件概率 设事件 B 的概率 p(B) 0 .对任意事件 A ，称 P(A|B)= 为在已知事件Ｂ发生的条 件下事件Ａ发生的条件概率。 8．条件概率的独立性 P(A) = = 基本事件总数 A包含的基本事件数 n k ( ) ( ) P B P AB
A、BEF,若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。设三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B) P(C)P(ABC)=P(A)P(B）P(C)称A,B,C相互独立。二、事件的关系的关系与运算1.事件的包含关系若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A，记作ACB。2.事件的相等设A,BCQ,若ACB，同时有BCA，称A与B相等，记为A=B,3.并(和)事件与积(交)事件“A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作AUB“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作A·B或AΛB4.差事件“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作A-B5.对立事件称“Q-A”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作A。AUA-AAA=Φ6.互不相容事件（互斥事件）若两个事件A与B不能同时发生，即AB=Φ，称A与B为互不相容事件（或互斥事件)。7.事件的运算法则AUB= BU A, AB= BA1)交换律(AUB)UC = AU(BUC)(AB)C = A(BC)2)结合律(AUB)nC=(AnC)U(BnC)3)分配律(ANB)UC=(AUC)(BUC)4)对偶原则AUB=AB，ANB-AUB三、常用公式1.加法公式（1）对任意两个事件A、B，有P(AUB)=P(A)+P(B）-P(AB）
A、B ,若 P(AB)= P(A) P(B) 则称事件 A、B 是相互独立的，简称为独立的。 设三个事件 A,B,C 满足 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称 A,B,C 相互独立。 二、事件的关系的关系与运算 １.事件的包含关系 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含了 A， 记作 。 ２. 事件的相等 设 A,B ,若 ，同时有 ，称 A 与 B 相等，记为 A=B， ３.并(和)事件与积(交)事件 “A 与 B 中至少有一个发生”为 A 和 B 的和事件或并事件。记作 . “A 与 B 同时发生”这一事件为 A 和 B 的积事件或交事件。记作 或 ４.差事件 “A 发生 B 不发生”这一事件为 A 与 B 的差事件，记作 ５.对立事件 称“ ”为 A 的对立事件或称为 A 的逆事件，记作 。 ６.互不相容事件（互斥事件） 若两个事件 A 与 B 不能同时发生，即 ，称 A 与 B 为互不相容事件（或互斥事 件）。 ７.事件的运算法则 1)交换律 2)结合律 3)分配律 (A B) C = (AC) (B C) 4)对偶原则 A B = A B ， A B = A B 三、常用公式 1.加法公式 （1）对任意两个事件 A、B，有 P( )=P( )+P( )-P( ) F A B A B B A A B A B A B A − B − A A A A = A − = − A A AB = A B = B A, AB = BA (AB)C = A(BC),(AB)C = A(BC) (AB)C = (AC)(BC) A B A B AB
（2）对任意三个事件A、B，CP(AU BUC)= P(A)+ P(B) + P(C)- p(AB)- p(AC)- p(BC)+ p(ABC)2.减法公式若ACB则 P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)≥P(A)P(A-B)= P(A)-P(AB)3.对立事件概率公式对任一随机事件A，有P（A）=1-P（A);4.乘法公式当p(A)>0时：1p(AB)= p(A)P(BA)p(ABC)= P(A)P(B|A)p(CIAB)5全概率公式定理1：设B，B,，…,B,是一列互不相容的事件，且有UB,=Q，对任何事件A，有Z P(B,) P(AB,)P(A)=Tsl6、贝叶斯公式定理2：若B，B2，",B,是一列互不相容的事件，且UB,=Q-1p(B)p(A|B,)则对任一事件A有 p(B,[A)=≥ p(B,)(4/B,)j=l两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段；两个公式的不同点：全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果”贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因”7.贝努里概型贝努里试验：若试验E只有两个可能的结果A及A，称这个试验为贝努里试验。贝努里概型设随机试验E具有如下特征：1）每次试验是相互独立的：2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件A：3)每次试验的结果发生的概率相同p(A)=p>0p(A)=1-p=q称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为重贝努里试验。记为E”。设事件A在n次试验中发生了X次，则P(X=k)=Cp*(1-p)"-k,k=1,2,,n
（2）对任意三个事件 A、B，C p(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC) 2.减法公式 若 A B 则 P(B-A)= P(B)-P(A); P(B) P(A) P(A-B)= P(A)-P(AB) 3.对立事件概率公式 对任一随机事件 A，有 P（ ）=1-P（A）； 4.乘法公式 当 p(A) 0 时: p(AB) = p(A)P(B | A) p(ABC) = p(A)P(B | A) p(C | AB) 5 全概率公式 定理 1：设 B B Bn , , , 1 2 是 一列互不相容的事件，且有 = = i n i B 1 ,对任何事件 A，有 P(A)= 6、贝叶斯公式 定理 2：若 B B Bn , , , 1 2 是一列互不相容的事件，且 = = i n i B 1 则对任一事件 A 有 = = n j j j i i i p B p A B p B p A B p B A 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) 两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段； 两个公式的不同点： 全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果” 贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因” 7.贝努里概型 贝努里试验:若试验 E 只有两个可能的结果 A 及 ，称这个试验为贝努里试验。 贝努里概型 设随机试验 E 具有如下特征： 1）每次试验是相互独立的； 2）每次试验有且仅有两种结果：事件 A 和事件 A ； 3）每次试验的结果发生的概率相同 p(A) = p 0 p(A) = 1− p = q 称试验 E 表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了 n 次，则这个试验也称为 n 重 贝努里试验。记为 。 设事件 A 在 n 次试验中发生了 X 次，则 P X k C p p k n k k n k n { = } = (1− ) , = 1,2, , − A ( ) 1 = n i P Bi ( ) P ABi − A n E
第二章一维随机变量及其分布一、分布函数的定义与性质1.随机变量定义1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）唯一地对应一个实数X(の)，则称实变量X为随机变量，通常用大写字母X，Y,Z等表示随机变量，例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数X为随机变量，X的可能取值为0，1，2....例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量X，的可能取值为X=[0,5]。例3：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（X，Y）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。2.分布函数定义2定义在样本空间Q上，取值于实数域的函数（の），称为是样本空间2上的（实值）随机变量，并称F(x)=P(X≤x)是随机变量（の）的概率分布函数.简称为分布函数分布函数的性质：(1）单调性若<x,则F(x)≤F(x)；(2) F(-o0)= lim F(x)=0F(+o0)= lim F(x)=1(3）右连续性F(x+0)=F(x）(4) Pia<X≤b)=F(b)-F(a)二、离散型随机变量1.概念定义3：只取有限个或可列个值的变量X为一维离散型随机变量简称离散型随机变量。2.分布律及其表示如果离散型随机变可能取值为（a...，相应的概率=P(=））为随机
第二章 一维随机变量及其分布 一、分布函数的定义与性质 1. 随机变量 定义 1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）ω唯一地对应一个实数 X () ，则 称实变量 X 为随机变量，通常用大写字母 X,Y,Z 等表示随机变量， 例 1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数 X 为随机变量， X 的可能取 值为 0，1，2. 例 2：某一公交车站每隔 5 分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则 侯车时间为随机变量 X , 的可能取值为 X =[0,5]。 例 3：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可 以用一个二维坐标（X,Y）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。 2. 分布函数 定义 2 定义在样本空间 上，取值于实数域的函数 ( ) ，称为是样本空间 上的（实 值）随机变量，并称 F(x) = P{X x} 是随机变量 ( ) 的概率分布函数.简称为分布函数. 分布函数的性质： （1）单调性 若 1 2 x x , 则 1 2 F x F x ( ) ( ) ； （2） ( ) lim ( ) 0 x F F x →− − = = ( ) lim ( ) 1 x F F x →+ + = = （3）右连续性 F(x + 0) = F(x) （4） P{a X b} = F(b) − F(a) 二、离散型随机变量 1.概念 定义 3：只取有限个或可列个值的变量 X为一维离散型随机变量简称离散型随机变量。 2.分布律及其表示 如果离散型随机变 X 可能取值为( . a1, a2, a3 )，相应的概率 为随机
变量X的分布列，也称为分布律，简称分布。（1）分布律表示方法一一公式法p = P(g=α,)（2）分布律表示方法一一列表法也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律：..aia2...ap, = P(c=a,)P1P2·P:.aa2aPiP2..p分布列的性质：非负性：1）P,≥0Zp,=1规范性：2）F(x)=p,分布函数,Sta12)例1:已知X~(1)求a，(2)分布函数q2-a40x<0幸0≤x<11【解】a=F(x)=3/421≤x<2Lx≥2例2：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，X表示取到的黑球数。（1）求X的分布律：（2）为随机变量X的分布函数【解】X可能取值为0，1，2。3-316P(X = 1):3P(X = 0} =P(X = 2)11510'1010[2131X-X的分布律(10510,[ox<0i0≤x<1F(x) =%1≤x<2[1X≥2
变量 X 的分布列，也称为分布律，简称分布。 （1）分布律表示方法——公式法 （2）分布律表示方法——列表法 也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量 的分布律： 分布列的性质: 非负性：1） pi 0 规范性：2） = = 1 1 i pi 分布函数 = x x i i F(x) p 例 1: 已知 − 2 4 1 0 1 2 ~ a a X (1)求 a ，(2)分布函数 【解】 2 1 a = − = 1 2 1 2 0 1 0 0 ( ) 4 3 4 1 x x x x F x 例 2：设袋中有五个球（3 个白球 2 个黑球）从中任取两球，X 表示取到的黑球数。（1）求 X 的分布律；（2）为随机变量 X 的分布函数 【解】X 可能取值为 0，1，2。 10 3 P{X = 0} = , 5 3 10 6 P{X = 1} = = , 10 1 P{X = 2} = X 的分布律 10 1 5 3 10 3 0 1 2 X ~ = 1 2 1 2 0 1 0 0 ( ) 10 9 10 1 x x x x F x