《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 格林公式及其应用

格林公式 (20 dxdy=p Pdx+ody 1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系; 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系

1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系; 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系. 格林公式                D L x y P x Q y y P x Q d d d d

格林公式oOaP dxdy=dPdx+Od ax a D y L 推论:正向闭曲线L所围区域D的面积 A 2JL xdy-ydx A=k xdy, A=b-ydx 例如,椭圆L x=acos e (0≤0≤2x)所围面积 y=sine A x dy-ydx 2JL 1c2 2J0(abcs 0+absin 0)do=Tab

推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积    L A xdy y dx 2 1 格林公式                D L x y P x Q y y P x Q d d d d 例如, 椭圆 (0 2π) sin cos :           y b x a L 所围面积    L A x dy y dx 2 1    2 π 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab  ab    π ab ,   L A xdy .    L A ydx

例1计算[xd,其中曲线AB是半径为的圆 AB 在第一象限部分. 解引入辅助曲线L, D L=0A+AB+BO 应用格林公式有 0 z2=-」j dxdy=h, xdy xav+ xay+ x L 04 AB BO xdy=- dxdy AB D

D x y o L A B L  OA AB  BO      L D dxdy xdy       OA AB BO xdy xdy xdy . 4 1 2 xdy dxdy r D AB           2 4 1 r

例2计算抛物线(x+y)2=ax(a>0)与x轴所 围成的面积 解OMA为直线y=0 4(a20 曲线AMO: y=√ax-x,x从a变到0 y cdy-ydx 2 2JoN xdy-yodx +2JMo xdy-yudx xdy-ydx xdx=-a 2 AMO

解     L A xdy ydx 2 1       ONA AMO xdy ydx xdy ydx 2 1 2 1 A(a,0) N M    AMO xdy ydx 2 1 . 6 1 4 2 0 xdx a a a    

例3计算「一)其中为一无重点且不过原点 L x+y 的分段光滑正向闭曲线 解:令P x Q x+1,2 x +y 2 0y2-x aP 则当x2+y2≠0时 x(x2+y2)2 设L所围区域为D,当(00gD时由格林公式知 y ray- yaX L y22=0 xty x

例3. 计算 , d d  2 2   L x y x y y x 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 0 , 则当x 2  y 2  时 2 2 2 2 2 ( x y ) y x x Q      设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时,由格林公式知 0 d d 2 2    L x y x y y x , 2 2 x y y P    2 2 x y x Q   y P    y x L O