证明 y=2(r) 1.若区域D既是X-型 又是Y-型区域, D 即平行于坐标轴的直 x=v2(y) 线和L至多交于两点 y=p(r) o a D={(x,y)q1(x)sy≤2(x),≤x≤b D={(x,y)v1(y)sx≤v2(y)csy≤t
o x y D a b ( ) y 1 x ( ) y 2 x c d ( ) 2 x y ( ) 1 x y A B C E 证明: {( , ) ( ) ( ), } D x y 1 x y 2 x a x b {( , ) ( ) ( ), } D x y 1 y x 2 y c y d
00 d v2()00 dxdy= dy d x ax vi(y) ax IvOD B reva(),y)dye(,(),y)dy x=v2(y) Q(x,y)小y e(x, y)dy CBE CAE =nQ(x,y)+。0x)=(x,y 同理可证 aP dxdy=t P(x,y)dx O 两式相加得 00 aP ddy=Px+Q小y ax a D
o x y D c d ( ) 2 x y ( ) 1 x y A B C E D dxdy x Q d c d c Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy 2 1 CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy LQ(x, y)dy dx x Q dy y y d c ( ) ( ) 2 1 同理可证 L D dxdy P x y dx y P ( , ) 两式相加得 L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( )
2.若区域D由一条按段光滑的闭曲线围成 D 用光滑曲线将D分成三个既是X-型又是Y-型 的区域D1,D2,D3 a0 aP 00 aP )dxdy )dxdy ax ay 2+2+n3a
L D D1 D2 D3 1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q 用光滑曲线将D分成三个既是X 型又是Y 型 , , . 的区域 D1 D2 D3
一 D a0 aP a0 aP 00 aP )dxdy+ )dxdy+ lxd ax a Ox ay S, Pdr+Ody+5, Pdx+Ody+f Pdc+Ody =S Pdx+edy
L D L1 L2 L3 D1 D2 D3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy L Pdx Qdy
3.若区域不止由一条闭曲线所围成 添加直线段AB,CE G 则D的边界线由AB,L2,BA, L3 AFC,CE,L3,EC及CGA 构成 F 由2知,j∫ a0 aP A )dxdy ++:++n}(P+Q小) =(「+5.+5)Pdx+g) Px+Q小y
G F C E L3 L2 L1 A B , , , 则D的边界线由AB L2 BA AFC,CE, L3 , EC及CGA 构成. D dxdy y P x Q ( ) AB L2 BA AFC CE { L EC CGA} (Pdx Qdy) 3 由2知, L Pdx Qdy 2 3 1 ( )( ) L L L Pdx Qdy