各种傅立叶变换及其相互关系 模拟信号 时域采样 周期延拓 主值区间 时域x()—n) x(n)— x(n)RN(n) (FFT) 频域XaGj2)—X(j2) (k) —X(k)RN(k) CTFT DTFT DFS DFT ICTFT IDTFT 频域采样 IDFT 6
6 各种傅立叶变换及其相互关系 模拟信号 时域采样 周期延拓 主值区间 时域xa(t) —— x(n) —— ——x(n)·RN(n) | | (FFT) 频域Xa(jΩ)——X(jΩ)—— ——X(k)·RN(k) CTFT DTFT DFS DFT ICTFT IDTFT 频域采样 IDFT x n( ) X k( )
各种傅立叶变换及其相互关系 (1).DFT与DFS的关系： X(k)=ak·N或 a4= (4.1.7 N (2).DFT与DTFT的关系 采样 w号)o器 插补 Xo)=∑X(h)m(N2z2eNka k-0 sin(oN-2πk)/2N) >
7 各种傅立叶变换及其相互关系 (1). DFT与DFS的关系： 或 (4.1.7) (2). DFT与DTFT的关系 : 采样 插补 N X k ak ( ) X(k) = ak N = ( ) NT k X NT X k X k 2 2 ( ) = = = ( ) (2 / )( 1)/ 2 1 0 sin(( 2 )/ 2 ) sin(( 2 )/ 2) ( ) 1 − − − − = − − = j k N N N k e N k N N k X k N X
各种傅立叶变换及其相互关系 (3).DTFT与CTFT的关系：用采样定理或乃奎 斯特定理建立关系。由CTFT求DTFT x@,-三x(n-)-号 由DTFT求CTFT:频率泄漏可以忽略不计时近 似解。 x号-l飞a o≤π 8
8 各种傅立叶变换及其相互关系 (3). DTFT与CTFT的关系:用采样定理或乃奎 斯特定理建立关系。由CTFT求DTFT 由DTFT求CTFT:频率泄漏可以忽略不计时近 似解。 1 2 ( ) , a k X X k T T T =− = − = ( ) ( ) ( ) 0 a a T X X FT x t T =
各种傅立叶变换及其相互关系 ·DFT与CTFT的相互关系： 由CTT求DFT只是取出其一部分，没有误差问题。 而由DFT求CTFT要先经过由DFT求DTFT,再经 过由DTFT求CTFT的两步。由离散求连续不一定 有解，只有在信号的频谱足够窄，频率泄漏可 以忽略不计的条件才可能近似由下式求得。 X(k) aka≈ak= 9
9 各种傅立叶变换及其相互关系 • DFT与CTFT的相互关系: 由CTFT求DFT只是取出其一部分，没有误差问题。 而由DFT求CTFT要先经过由DFT求DTFT，再经 过由DTFT求CTFT的两步。由离散求连续不一定 有解，只有在信号的频谱足够窄，频率泄漏可 以忽略不计的条件才可能近似由下式求得。 2 1 2 ( ) N k N N X k ak a ak = − +
4.2快速付立叶变换(FFT) 计算DFT的运算次数按N2快速增长。设N可以被2整除， 把x(n)分成两个子序列x1(n)和x2(n), x(n)=[x(0),x(2),…x(W-2)] n=0,…,(N-1)/2 x2(n)=[x(1),x(3),…(N-1)] 则原序列的DFT可写成（设N1=N/2): X(m)=x(0)W8+x(2)W2m+…+x(N-2)W-2》m+ +x(1)W+x(3)Wm+...+x(N-1)WW-Im =Ow8+w%++x1(N1-Dw-m+ +[xO)W9+x2④w双++x2(W1-1)w-m 10
10 4.2 快速付立叶变换(FFT) • 计算DFT的运算次数按N 2快速增长。设N可以被2整除， 把x(n)分成两个子序列x1(n)和x2(n)， 则原序列的DFT可写成(设N1=N/2)： 1 2 ( ) [ (0), (2), ( 2)] 0, ,( 1) / 2 ( ) [ (1), (3), ( 1)] x n x x x N n N x n x x N = − = − = − 0 2 ( 2 3 ( 1) ( ) (0) (2) ( 2) (1) (3) ( 1) m N m N N N m m N m N N N X m x W x W x N W x W x W x N W − − = + + + − + + + + + − ） N m N m N N m N N m N m N N W x W x W x N W x W x W x N W ( 1) 2 2 1 0 2 ( 1) 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ (0) (1) ( 1) (0) (1) ( 1) − − + + + + − = + + + − +